수학의 미해결 문제 목록

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르네상스 이래 수학 문제에 대한 해답은 세기가 갈수록 이전 세기에 비해 증가해 왔다.[1] 그럼에도 불구하고 미해결된 수학의 크고 작은 문제들이 다수 존재한다. 미해결 문제는 여러 분야에서 나타나는데 물리학, 컴퓨터 과학, 대수학, 해석학, 조합론, 대수기하학, 이산기하학, 유클리드 기하학, 그래프 이론, 모형이론, 정수론, 집합론, 램지 이론, 동역학계, 편미분방정식 등에 걸친다. 몇몇 문제는 수학 내에서도 두 개 이상의 소분야에 걸쳐있을 수 있으며, 각 소분야의 개념을 적용하여 연구할 수 있다. 장기간 미해결된 문제는 상이 걸려있는 경우가 많은데, 이로 인해 밀레니엄 문제와 같은 목록들은 상당한 주목을 받는다.

유명한 목록들[편집]

지난 세기부터 유명 수학자나 기관이 몇가지 중요한 미해결 문제를 모은 목록들을 제시한 바 있다.

목록 문제 수 미해결 혹은
부분적 해결 문제 수		 제안자 제안 연도
힐베르트 문제[2] 23 15 다비트 힐베르트 1900
란다우 문제[3] 4 4 에드문트 란다우 1912
다니야마 문제[4] 36 - 다니야마 유타카 1955
서스턴의 24개 질문들[5][6] 24 - 윌리엄 서스턴 1982
스메일 문제 18 14 스티븐 스메일 1998
밀레니엄 문제 7 6[7] 클레이 수학연구소 2000
사이먼 문제 15 <12[8] 배리 사이먼 2000
21세기 미해결 수학 문제[9] 22 - 자이르 아베, 다나카 쇼타로 2001
DARPA 수학 문제[10][11] 23 - 미국 방위고등연구계획국 2007
위의 리만 제타 함수는 유명하고 영향력 있는 미해결 난제인 리만 가설에서 다루는 개념이다.

밀레니엄 문제[편집]

<nowiki /> 밀레니엄 문제 문서를 참고하십시오.

2021년 현재 밀레니엄 문제 중 푸앵카레 추측만이 해결된 상태이다.

분야별 미해결 문제[편집]

대수학[편집]

해석학[편집]

파란색 영역의 넓이는 오일러-마스케로니 상수로, 유리수인지 아닌지는 밝혀지지 않았다.

기하학[편집]

대수기하학[편집]

미분기하학[편집]

덮기와 채우기 문제[편집]

3차원에서, 단위 구 주위에 최대 12개의 구를 서로 겹치치 않고 단위 구와 접촉하게 만들 수 있으므로 입맞춤 수는 12이다. (여기서 바깥의 구의 중심들을 인접하는 구끼리 이으면 정이십면체가 된다.) 입맞춤 수가 알려진 차원은 1•2•3•4•8•24차원뿐이다.
  • 1·2·3·4·8·24차원 외의 차원에서의 입맞춤 수 문제[18]
  • 에르되시-올러 추측: 이 삼각수일 때, 개의 단위 원을 채우기 위한 정삼각형의 변의 길이의 하한은 개의 단위원을 채울 때와 같은가?[19]
  • 트라이포드 채우기: 주어진 정육면체 안에 채울 수 있는 트라이포드의 꼭짓점의 최대 개수는 얼마인가?[20]
  • 구 채우기 문제
  • 정사각형에 정사각형 채우기: 단위 정사각형을 한 변의 길이가 a인 정사각형에 최대한 채울 때 남는 공간의 점근적 성장률은 어떻게 되는가?[21]

이산기하학[편집]

  • 레비-하트비거 추측: 임의의 n차원 볼록 다포체는 이와 중심닮음이면서 더 작은 개의 다포체로 채워질 수 있는가?[22]
  • 고본 삼각형 문제
  • 에르되시-세케레스 추측: 평면 위에 어느 세 점도 일직선 위에 있지 않은 점이 개 있다면, 그 중 볼록 n각형의 꼭짓점을 이루는 n개의 점이 존재하는가?[23]
  • 에르되시 거리 문제: 서로 다른 점 n개가 평면 위에 있을 때 반드시 찾을 수 있는 서로 다른 거리 수의 최솟값 을 찾아라.[24]

유클리드 기하학[편집]

  • 소파 옮기기 문제: 폭이 1이고 직각으로 꺾인 복도를 지나갈 수 있는 가장 면적이 넓은 도형은 무엇인가?[25]
  • 내접 정사각형 문제(퇴플리츠 추측): 임의의 조르당 곡선에서 네 점을 잡아 정사각형을 만들 수 있는가?
  • 모서의 벌레 문제: 모든 단위 길이 곡선을 포함할 수 있는 최소 도형의 면적은 얼마인가?[26]
  • 톰슨 문제: n개의 상호 반발하는 입자들을 위치 에너지가 최소가 되도록 단위 구 위에 배치하는 방법은 무엇인가?[27]

동역학계[편집]

망델브로 집합. 망델브로 집합이 국소 연결인지 아닌지는 밝혀지지 않았다.

게임 및 퍼즐[편집]

조합론적 게임[편집]

  • 스도쿠
    • 최소 형태의 문제가 기본적으로 제공하는 초기 정보의 최대 개수는 얼마인가?[28]
    • 유일한 풀이가 존재하는 문제의 개수는 얼마인가?[28]
    • 최소 형태의 문제 중에서 유일한 풀이가 존재하는 문제의 개수는 얼마인가?[28]
  • 틱택토와 변종들
    • 너비가 정해진 틱택토 판에서 X가 이기는 전략이 보장되는 판의 최소 차원은 몇인가?[29]
  • 중복되지 않는 모든 기초 세포 자동자들의 튜링 완전성 여부

불완전한 정보를 가진 게임[편집]

군론[편집]

  • 모든 유한 생성 꼬임군은 유한한가?

그래프 이론[편집]

  • 하트비거의 추측: 완전 그래프 의 마이너가 없는 그래프의 채색수는 t-1 이하인가?[30]
  • 하트비거-넬슨 추측: 단위 거리만큼 떨어진 임의의 두 점이 서로 다른 색을 갖도록 평면을 칠하기 위해 필요한 색의 최소 개수는 몇인가?[31]
  • 하르보르트 추측: 모든 평면 그래프는 각 변의 길이가 정수가 되도록 그릴 수 있는가?[32]

모형 이론 및 형식 언어[편집]

정수론[편집]

해석적 수론[편집]

대수적 수론[편집]

초월적 수론

  • 네 지수 추측: 두 복소수 쌍 와 가 서로 유리수에서 일차 독립일 때, 중 적어도 하나는 초월수인가?

미분류[편집]

6은 양의 소인수 1, 2, 3의 합이 되므로 완전수이다. 얼마나 많은 완전수가 존재하는지, 홀수 완전수가 존재하는지는 밝혀지지 않았다.

소수[편집]

골드바흐의 추측은 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 추측이다.

조합론[편집]

  • 1/3-2/3 추측: 임의의 전순서 집합이 아닌 유한 부분 순서 집합은, 무작위로 선형 확장을 했을 때 x가 y보다 작을 확률이 1/3 이상 2/3 이하가 되도록 하는 두 원소 x, y를 가지는가?[34]
  • 외로운 러너 추측: 모든 자연수 n에 대하여, t=0에서 단위원의 같은 지점에서 출발해 서로 다른 속도로 원을 도는 n명의 러너가 있을 때, 모든 각 러너가 최소 한 번은 다른 러너와 1/k 이상 떨어지도록 하는 것이 가능한가?[35]
  • No-three-in-line 문제: 어떤 세 점도 한 직선 위에 놓이지 않도록 격자 위에 배치할 수 있는 점의 최대 개수는 얼마인가?
  • 합집합-닫힘 집합 추측: 임의의 합집합 연산에 대해 닫힌 집합족은, 절반 이상의 집합에 속하는 원소가 항상 존재하는가?[36]
  • 램지 수 의 값은?
  • 판데르바르던 수: 주어진 양의 정수 r과 k에 대해, N개의 양의 정수 {1, 2, ..., N}이 각각 r개의 색 중 하나로 칠해졌을 때 같은 색의 k개의 정수로 이루어진 등차수열이 항상 존재하도록 하는 N의 값은?

집합론[편집]

위상수학[편집]

매듭 풀기 문제는 다이어그램으로 나타낸 매듭이 실제로 자명한 매듭임을 밝히기 위한 효율적인 알고리즘을 찾는다.
  • 매듭 풀기 문제: 자명한 매듭이 다항 시간 내에 밝혀질 수 있는가?

1995년 이후 해결된 문제[편집]

각주[편집]

  1. ↑ Eves, An Introduction to the History of Mathematics 6th Edition, Thomson, 1990, ISBN 978-0-03-029558-4.
  2. ↑ Thiele, Rüdiger (2005), 〈On Hilbert and his twenty-four problems〉, Van Brummelen, Glen, 《Mathematics and the historian's craft. The Kenneth O. May Lectures》, CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC 21, 243–295쪽, ISBN 978-0-387-25284-1 
  3. ↑ Guy, Richard (1994), 《Unsolved Problems in Number Theory》 2판, Springer, vii쪽, ISBN 978-1-4899-3585-4, 2021년 10월 14일에 확인함 .
  4. ↑ Shimura, G. (1989). “Yutaka Taniyama and his time”. 《Bulletin of the London Mathematical Society》 21 (2): 186–196. doi:10.1112/blms/21.2.186. 2021년 10월 14일에 확인함. 
  5. ↑ “Archived copy” (PDF). 2016년 2월 8일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2021년 10월 14일에 확인함. 
  6. ↑ “THREE DIMENSIONAL MANIFOLDS, KLEINIAN GROUPS AND HYPERBOLIC GEOMETRY” (PDF). 2021년 10월 14일에 확인함. 
  7. ↑ “Millennium Problems”. 2021년 10월 14일에 확인함. 
  8. ↑ Bellos, Alex (2014년 8월 13일). “Fields Medals 2014: the maths of Avila, Bhargava, Hairer and Mirzakhani explained”. 《가디언》. 2021년 10월 14일에 확인함. 
  9. ↑ Abe, Jair Minoro; Tanaka, Shotaro (2001). 《Unsolved Problems on Mathematics for the 21st Century》. IOS Press. ISBN 978-9051994902. 
  10. ↑ “DARPA invests in math”. CNN. 2008년 10월 14일. 2021년 10월 14일에 확인함. 
  11. ↑ “Broad Agency Announcement (BAA 07-68) for Defense Sciences Office (DSO)”. DARPA. 2007년 9월 10일. 2012년 10월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2021년 10월 14일에 확인함. 
  12. ↑ 다음의 Eric W.Weisstein의 문서는 각 수들에 대한 설명이다. π: [1], e: [2], 킨친 상수: [3], 무리수: [4], 초월수 [5], 무리성 측도: [6], Wolfram MathWorld, 2021년 10월 11일 확인.
  13. ↑ Michel Waldschmidt, 2008, "An introduction to irrationality and transcendence methods," at The University of Arizona The Southwest Center for Arithmetic Geometry 2008 Arizona Winter School, March 15–19, 2008 (Special Functions and Transcendence), [7], 2021년 10월 11일 확인.
  14. ↑ John Albert, posting date unknown, "Some unsolved problems in number theory" [from Victor Klee & Stan Wagon, "Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory"], in University of Oklahoma Math 4513 course materials, [8], 2021년 10월 11일 확인.
  15. ↑ Maulik, Davesh; Nekrasov, Nikita; Okounov, Andrei; Pandharipande, Rahul (2004년 6월 5일), 《Gromov–Witten theory and Donaldson–Thomas theory, I》, arXiv:math/0312059, Bibcode:2003math.....12059M 
  16. ↑ Zariski, Oscar (1971). “Some open questions in the theory of singularities”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 77 (4): 481–491. doi:10.1090/S0002-9904-1971-12729-5. MR 0277533. 
  17. ↑ Barlet, Daniel; Peternell, Thomas; Schneider, Michael (1990). “On two conjectures of Hartshorne's”. 《Mathematische Annalen》 286 (1–3): 13–25. doi:10.1007/BF01453563. S2CID 122151259. 
  18. ↑ Conway, John H.; Neil J.A. Sloane (1999), 《Sphere Packings, Lattices and Groups》 3판, New York: Springer-Verlag, 21–22쪽, ISBN 978-0-387-98585-5 
  19. ↑ Melissen, Hans (1993), “Densest packings of congruent circles in an equilateral triangle”, 《American Mathematical Monthly》 100 (10): 916–925, doi:10.2307/2324212, JSTOR 2324212, MR 1252928 
  20. ↑ Aronov, Boris; Dujmović, Vida; Morin, Pat; Ooms, Aurélien; Schultz Xavier da Silveira, Luís Fernando (2019), “More Turán-type theorems for triangles in convex point sets”, 《Electronic Journal of Combinatorics》 26 (1): P1.8, arXiv:1706.10193, Bibcode:2017arXiv170610193A, doi:10.37236/7224, 2019년 2월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서, 2021년 10월 11일에 확인함 
  21. ↑ Brass, Peter; Moser, William; Pach, János (2005), 《Research Problems in Discrete Geometry》, New York: Springer, 45쪽, ISBN 978-0387-23815-9, MR 2163782 
  22. ↑ Boltjansky, V.; Gohberg, I. (1985), 〈11. Hadwiger's Conjecture〉, 《Results and Problems in Combinatorial Geometry》, Cambridge University Press, 44–46쪽 .
  23. ↑ Morris, Walter D.; Soltan, Valeriu (2000), “The Erdős-Szekeres problem on points in convex position—a survey”, 《Bull. Amer. Math. Soc.》 37 (4): 437–458, doi:10.1090/S0273-0979-00-00877-6, MR 1779413 ; Suk, Andrew (2016), “On the Erdős–Szekeres convex polygon problem”, 《J. Amer. Math. Soc.》 30 (4): 1047–1053, arXiv:1604.08657, doi:10.1090/jams/869, S2CID 15732134 
  24. ↑ Brass, Peter; Moser, William; Pach, János (2005), 〈5.1 The Maximum Number of Unit Distances in the Plane〉, 《Research problems in discrete geometry》, Springer, New York, 183–190쪽, ISBN 978-0-387-23815-9, MR 2163782 
  25. ↑ Wagner, Neal R. (1976), “The Sofa Problem” (PDF), 《The American Mathematical Monthly》 83 (3): 188–189, doi:10.2307/2977022, 2015년 4월 20일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서, 2021년 11월 28일에 확인함 
  26. ↑ Norwood, Rick; Poole, George; Laidacker, Michael (1992), “The worm problem of Leo Moser”, 《Discrete and Computational Geometry》 7 (2): 153–162, doi:10.1007/BF02187832, MR 1139077 
  27. ↑ Whyte, L. L. (1952), “Unique arrangements of points on a sphere”, 《The American Mathematical Monthly》 59 (9): 606–611, doi:10.2307/2306764, JSTOR 2306764, MR 0050303 
  28. ↑ 가 나 다 “보관된 사본”. 2017년 11월 10일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2020년 8월 14일에 확인함.  Ten open questions about Sudoku (2012-01-21).
  29. ↑ “Higher-Dimensional Tic-Tac-Toe”. 《PBS》. YouTube. 2017년 9월 21일. 2021년 10월 14일에 확인함. 
  30. ↑ Toft, Bjarne (1996), “A survey of Hadwiger's conjecture”, 《Congressus Numerantium》 115: 249–283, MR 1411244 .
  31. ↑ Croft, Hallard T.; Falconer, Kenneth J.; Guy, Richard K. (1991), 《Unsolved Problems in Geometry》, Springer-Verlag , Problem G10.
  32. ↑ Hartsfield, Nora; Ringel, Gerhard (2013), 《Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction》, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 247, ISBN 978-0-486-31552-2, MR 2047103 .
  33. ↑ Bruhn, Henning; Schaudt, Oliver (2016). “Newer sums of three cubes”. arXiv:1604.07746v1 [math.NT]. 
  34. ↑ Brightwell, Graham R.; Felsner, Stefan; Trotter, William T. (1995), “Balancing pairs and the cross product conjecture”, 《Order》 12 (4): 327–349, CiteSeerX 10.1.1.38.7841, doi:10.1007/BF01110378, MR 1368815, S2CID 14793475 
  35. ↑ Tao, Terence (2017), “Some remarks on the lonely runner conjecture”, arXiv:1701.02048 [math.CO] 
  36. ↑ Bruhn, Henning; Schaudt, Oliver (2015), “The journey of the union-closed sets conjecture”, 《Graphs and Combinatorics》 31 (6): 2043–2074, arXiv:1309.3297, doi:10.1007/s00373-014-1515-0, MR 3417215, S2CID 17531822 
  37. ↑ Wolchover, Natalie, “Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem”, 《Quanta Magazine》 
  38. ↑ Bruhn, Henning; Schaudt, Oliver (2015). “The Erdos discrepancy problem”. arXiv:1509.05363v5 [math.CO]. 
  39. ↑ Helfgott, Harald A. (2013). “Major arcs for Goldbach's theorem”. arXiv:1305.2897 [math.NT]. 
  40. ↑ Helfgott, Harald A. (2012). “Minor arcs for Goldbach's problem”. arXiv:1205.5252 [math.NT]. 
  41. ↑ Helfgott, Harald A. (2013). “The ternary Goldbach conjecture is true”. arXiv:1312.7748 [math.NT]. 
  42. ↑ “Bombieri and Tao Receive King Faisal Prize” (PDF). 《Notices of the AMS》 57 (5): 642–643. May 2010. ISSN 1088-9477. OCLC 34550461. Working with Ben Green, he proved there are arbitrarily long arithmetic progressions of prime numbers—a result now known as the Green–Tao theorem. 
  43. ↑ “Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman” (보도 자료). 클레이 수학연구소. 2010년 3월 22일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. The Clay Mathematics Institute hereby awards the Millennium Prize for resolution of the Poincaré conjecture to Grigoriy Perelman. 
  44. ↑ Croot, Ernest S., III (2000), 《Unit Fractions》, Ph.D. thesis, 조지아 대학교 . Croot, Ernest S., III (2003), “On a coloring conjecture about unit fractions”, 《수학연보》 157 (2): 545–556, arXiv:math.NT/0311421, Bibcode:2003math.....11421C, doi:10.4007/annals.2003.157.545 
  45. ↑ Bruhn, Henning; Schaudt, Oliver (2015). “A formal proof of the Kepler conjecture”. arXiv:1501.02155 [math.MG]. 
  46. ↑ 앤드루 와일스 (1995). “Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem”. 《수학연보》 141 (3): 443–551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076. doi:10.2307/2118559. JSTOR 2118559. OCLC 37032255. 
  47. ↑ 리처드 로런스 테일러, 앤드루 와일스 (1995). “Ring theoretic properties of certain Hecke algebras”. 《수학연보》 141 (3): 553–572. CiteSeerX 10.1.1.128.531. doi:10.2307/2118560. JSTOR 2118560. OCLC 37032255. 
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