힐베르트의 문제들

힐베르트의 문제(Hilbert's problems)는 수학 문제 23개로, 독일의 수학자인 다비드 힐베르트가 1900년 프랑스 파리에서 열린 국제 수학자 회의에서 20세기에 풀어야 할 가장 중요한 문제로 제안한 것이다. 국제 수학자 회의에서 힐베르트는 10문제(1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, 22)를 공개했고, 나중에 모든 문제가 출판되었다.

사실, 처음에 힐베르트는 24문제를 생각하였으나, 맨 마지막 문제를 공개하지 않기로 결정했다. 이 24번째 문제는 나중에 독일 역사학자인 뤼드게르 틸레(Rüdiger Thiele)가, 힐베르트가 문제들을 공개한 지 100주년인 2000년에 재발견하였다.

문제 목록

힐베르트의 23문제는 다음과 같다.

문제 번호	내용 요약	현재 상태	연도
1	연속체 가설: 정수의 집합보다 크고 실수의 집합보다 작은 집합은 존재하지 않는다.	체르멜로-프란켈 집합론에서 선택공리를 가정하는지의 여부에 무관하게 증명할 수도 반증할 수도 없음이 증명되었다. 이것으로 이 문제가 해결되었는지에 대해서는 합의된 바가 없다.	1963년
2	산술의 공리들이 무모순임을 증명하라.	괴델과 겐첸 (Gentzen)의 결과가 이 문제를 해결했는지에 대한 합의가 존재하지 않는다. 1931년에 증명된 괴델의 제2 불완전성 정리는 산술의 공리계가 자기 자신의 무모순성을 증명할 수 없음을 보였으며, 1936년에 겐첸은 서수 ε0이 기초집합이라는 가정을 하면 산술의 무모순성이 증명됨을 보였다.	1936년
3	부피가 같은 두 다면체에 대해, 하나를 유한개의 조각으로 잘라낸 뒤 붙여서 다른 하나를 만들어내는 것이 언제나 가능한가?	부정적으로 해결. 덴 불변량을 사용하여 증명.	1900년
4	직선이 측지선인 계량을 전부 만들어내라.	해결 여부를 말하기에는 문제의 내용이 너무 애매하다.
5	연속군은 언제나 미분군인가?	문제를 어떻게 해석하는지에 따라 앤드류 글리슨(Andrew Gleason)이 해결했다고 볼 수도 있다. 그러나 힐베르트-스미스 추측과 동치인 것으로 해석할 경우에는 여전히 미해결 문제이다.	1953?
6	물리학 전체를 공리화하라.	미해결. 모든 것의 이론 참고.
7	a ≠ 0,1이 대수적 수이고 b가 대수적 무리수일 때, ab은 초월수인가?	긍정적으로 해결. 겔폰트의 정리 및 겔폰트-슈나이더 정리 참고.	1935년
8	리만 가설(리만 제타 함수의 임의의 비자명근의 실수부는 2분의 1이다)과 골드바흐 추측(2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다).	둘 다 미해결.
9	대수적 수체에 대해 성립하는 가장 일반적인 상호법칙을 발견하라.	부분적으로 해결. 유체론의 발전으로 아벨 확장에 대해서는 해결되었으나, 비아벨 확장에 대해서는 풀리지 않은 상태이다.
10	임의의 주어진 디오판토스 방정식이 정수해를 갖는지를 판별하는 알고리즘을 제시하라.	부정적으로 해결: 마티야세비치의 정리 (Matiyasevich's theorem)에 따라 그러한 알고리즘은 존재하지 않는다.	1970년
11	대수적 수를 계수로 갖는 이차 형식의 해 구하기.	부분적으로 해결됨.
12	유리수체의 아벨 확장에 대해 적용되는 크로네커의 정리를 임의의 수체에 대해 일반화하라.	미해결.
13	임의의 7차방정식을 2변수 함수를 이용해 풀라.	해결: 블라디미르 아놀드가 그 가능성을 증명했다.	1957년
14	특수한 완비 함수족의 유한성의 증명.	반례가 존재하여 일반적으로는 성립하지 않음이 증명되었다.	1959년
15	Schubert's enumerative calculus에 대한 엄밀한 기초를 제시하라.	부분적으로 해결.
16	대수곡선 및 곡면의 위상	미해결.
17	정부호 유리함수를 제곱의 합의 몫으로 나타내라.	해결: 필요한 제곱의 개수의 상한이 발견되었다.	1927년
18	정다면체가 아니면서 쪽매맞춤을 할 수 있는 다면체가 존재하는가? 가장 밀도가 높은 공 쌓기는 무엇인가?	(1) 첫 번째는 카를 라인하르트에 의해 해결. (2) 두 번째는 컴퓨터를 이용한 증명으로 해결. 정육면체 모양으로 쌓으나 육각형 모양으로 쌓으나 양쪽 다 밀도가 74%이다.	(1) 1928년 (2) 1998년
19	라그랑지안의 해는 언제나 해석적인가?	긍정적으로 해결: 엔니오 데 기오르기 (Ennio de Giorgi)가 증명했고, 나중에 존 포브스 내시도 독자적인 방법으로 증명했다.	1957년
20	경계값 조건을 갖는 모든 변분법 문제는 해를 갖는가?	해결: 20세기 전체에 걸친 연구의 결과로 비선형적인 경우에 대해 해를 찾을 수 있었다.
21	주어진 모노드로미 군을 갖는 선형 미분방정식의 존재성을 증명하라.	해결. 문제를 어떻게 해석하는지에 따라 긍정적이거나 부정적인 해결로 볼 수 있다.
22	보형함수를 이용한 해석적 관계의 균일화.	해결.
23	변분법의 추가적 발전.	미해결.

참고 자료

• Rowe, David; Gray, Jeremy J. (2000). The Hilbert Challenge. Oxford University Press. ISBN 0198506511
• Yandell, Benjamin H. (2002). The Honors Class. Hilbert's Problems and Their Solvers. A K Peters. ISBN 1568811411
• On Hilbert and his 24 Problems. In: Proceedings of the Joint Meeting of the CSHPM 13(2002)1-22 (26rd Meeting; ed. M. Kinyon)

바깥 고리

• 23개의 문제에 대한 설명과 해결 상태
• 힐베르트가 처음에 독일어로 발표한 글
• 위 글을 영어로 번역한 것
• 18번 문제의 해법
• The Mathematical Gazette, March 2000 (page 2-8) "100 Years On"
• 24번 문제에 대해