보형 형식

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수학에서, 보형 형식(保型形式, 영어: automorphic form)은 고전적인 모듈러 형식을 임의의 리 군 및 그 이산 부분군으로 일반화시킨 개념이다. 즉, 어떤 이산 부분군의 작용에 대하여 불변인 해석함수이다. 보형 형식의 이론은 랭글랜즈 프로그램을 통해 현대 수론의 핵심적인 부분을 차지한다.

정의[편집]

임의의 리 군 G이와사와 분해(영어: Iwasawa decomposition)를 통해 멱영군 N, 아벨 군 A, 콤팩트 반단순 군 K로 분해될 수 있다. 즉, 임의의 원소 g\in G는 이와사와 분해에 따라

g=n(g)a(g)k(g)
n(g)\in N,\;a(g)\in A,\;k(g)\in K

와 같이 나타낼 수 있다.

리 군 G이산 부분군 \Gamma\subset G를 갖는다고 하자. G 위의, \Gamma에 대한 보형 형식 f\colon G\to\mathbb C는 다음 네 조건들을 만족시키는 매끈한 함수이다.

  • 모든 \gamma\in\Gamma, g\in G에 대하여, f(\gamma g)=f(g)
  • (K-유한성) fK의 원소에 대하여 (우측) 병진이동시켜 얻은 함수들의 벡터공간이 유한 차원이다.
  • (\mathcal Z-유한성) \mathcal ZG리 대수 \mathfrak g보편포락대수 U(\mathfrak g)의 중심이라고 하자. 그렇다면, f를 상쇄시키는,\mathcal Z의 유한 여차원 아이디얼 J\subset\mathcal Z이 존재한다.
  • (첨점에서의 완만한 성장 영어: moderate growth at cusp) 첨점 근처에서, |f(g)|=O(\Vert a(g)\Vert^\lambda)\lambda\in\mathbb R가 존재한다.

이 네 조건 가운데, 첫 번째를 제외하고 나머지는 기술적인 조건이다.

고전적 정의와의 관계[편집]

고전적으로, 보형 형식은 복소 공간 위의 유리형함수로 정의되었고, 이 경우 변환 법칙에 보형 인자(영어: factor of automorphy) j라는 인자가 포함되었다. 즉,

f(\gamma\cdot z)=j(\gamma,z)^{-m}f(x)

의 꼴이다. 예를 들어, 고전적 모듈러 형식상반평면 \mathbb H 위에, 모듈러 군 \Gamma=\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)에 대하여 변환하는 함수이다.

현대적으로, 이는 G=\operatorname{SL}(2,\mathbb R)의 부분군 K=\operatorname{SO}(2,\mathbb R)에 대한 잉여류 공간

\operatorname{SL}(2,\mathbb R)/\operatorname{SO}(2,\mathbb R)\cong\mathbb H

위의 함수로 재해석된다.

역사[편집]

보형 형식은 고전적인 개념인 모듈러 형식의 일반화이다. 고전적인 모듈러 형식은 힐베르트 모듈러 형식·지겔 모듈러 형식 등으로 일반화되었다. 일반적인 리 군에 대한 오늘날의 추상적인 정의는 일리야 퍄테츠키샤피로 등에 의하여 1960년대에 완성되었다. 이후 로버트 랭글랜즈랭글랜즈 프로그램을 통해 이를 대수적 수론갈루아 군과 연결시키면서, 현재까지 수론의 주요 연구 대상이 되고 있다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]