디리클레 지표

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수론에서, 디리클레 지표(Dirichlet指標, 영어: Dirichlet character)는 수론적 함수의 하나다. 디리클레 L함수를 정의하는 데 사용된다.

정의[편집]

(\mathbb Z/k\mathbb Z)^*k에 대하여 서로소k 합동류들의 아벨 군이다. \mathbb C^*=\mathbb C\setminus\{0\}는 0이 아닌 복소수들의 곱셈에 대한 아벨 군이다. 이들 사이에 군 준동형사상

\chi\colon(\mathbb Z/k\mathbb Z)^*\to\mathbb C^*

이 주어졌다고 하자. 이러한 꼴의 군 준동형사상을 지표라고 한다. 이러한 지표 \chi수론적 함수 \hat\chi\colon\mathbb Z\to\mathbb C로 확장시킬 수 있다. 이 경우, k에 대하여 서로소가 아닌 합동류에 속하는 정수들에 대하여 \hat\chi의 값을 0으로 놓는다. 이렇게 하여 얻는 함수 \hat\chi디리클레 지표라고 한다.

이렇게 정의한 함수 \hat\chi는 다음과 같은 성질을 갖는다.

  1. (주기성) \hat\chi(n)=\hat\chi(n+k)
  2. (서로소) nk서로소임은 \hat\chi(n)\ne0과 동치이다.
  3. (승법성) 모든 정수 m,n\in\mathbb Z/k\mathbb Z에 대하여, \hat\chi(mn)=\hat\chi(m)\hat\chi(n)

이 세 조건을 만족하는 함수는 항상 디리클레 지표임을 보일 수 있다.

디리클레 L함수[편집]

모든 디리클레 지표 \chi에 대하여, 이에 대응하는 L함수를 정의할 수 있다. 이를 디리클레 L함수라고 하며, 다음과 같다.

L(s,\chi)=\sum_{n=1}^\infty\chi(n)/n^s

역사[편집]

페터 구스타프 르죈 디리클레디리클레 등차수열 정리를 증명하기 위하여 1831년에 도입하였다.

참고 문헌[편집]