로그 적분 함수

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로그 적분 함수의 그래프

로그 적분 함수(log積分函數, 영어: logarithmic integral function)는 특수 함수의 일종이다.

정의[편집]

로그 적분 함수는 정적분을 사용하여 다음과 같이 정의된다.

 {\rm li} (x) =   \int_0^x \frac{dt}{\ln t} \;

혹은 다음과 같은 정의를 쓰기도 한다.[1]

 {\rm Li} (x) =   \int_2^x \frac{dt}{\ln t} \;

여기서  {\ln} \; 자연로그를 의미한다.

급수[편집]

로그 적분 함수는 지수 적분 함수 Ei(x)와 다음과 같은 관계에 놓여있다.[2]

\operatorname{li}(x)=\operatorname{Ei}(\ln x)

이 식은 x > 0에서 성립한다. 이 식은 지수 적분 함수급수

\operatorname{li} (e^t) = \operatorname{Ei}(t) =\gamma + \ln |t| + \sum_{k=1}^\infty {t^{n}\over k \cdot k!}\qquad(t \ne 0)

이므로

\operatorname{li} (x) = \operatorname{Ei}(\ln x) = \gamma + \ln \ln x + \sum_{k=1}^\infty {(\ln x)^{n}\over k \cdot k!}\qquad(x \ne 1)

로 표현할 수 있다.

라마누잔이 만든 더 빠르게 수렴하는 급수로는

\operatorname{li} (x) =
 \gamma
 + \ln \ln x
 + \sqrt{x} \sum_{n=1}^\infty
                \frac{ (-1)^{n-1} (\ln x)^n}  {n! \, 2^{n-1}}
                \sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} \frac{1}{2k+1} .

이 있다.

여기서  \gamma ≈ 0.57721 56649 01532 ... 는 오일러-마스케로니 상수이다.

점근적 표기[편집]

x → ∞에서의 li(x)의 행동은 다음과 같다.[2]

 {\rm li} (x) = O \left( {x\over \ln x} \right) \;

여기서 O점근 표기법을 의미한다.

소수와의 관계[편집]

로그 적분 함수는 수론에서 매우 중요한데 왜냐하면 어떤 수 이하의 소수의 개수를 어림하는데 쓰이기 때문이다. 즉, 소수 정리는 다음을 보장한다.

\pi(x)\sim\operatorname{Li}(x)

여기서의 \pi(x)소수 계량 함수이다. 실제로 계산해 보면 작은 범위 안에서는 Li(x)\pi(x)보다 약간 더 큰 것 처럼 보이지만 실제로는 스큐스 수에서 \pi(x)Li(x)보다 더 커지고 이후에는 무한히 순서가 바뀐다는 것이 알려져 있다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. 오일러 상수 감마, 가-173쪽, 나-305쪽, ISBN 978-89-6139-018-7
  2. 영문 위키 참조

같이 보기[편집]