스큐스 수

수론에서, 스큐스 수는 남아프리카 공화국 수학자 스탠리 스큐스가 정의한 매우 큰 수로,

$\pi(x) - li(x) > 0$

를 만족하는 가장 작은 자연수를 말한다.

여기서 $\pi(x)$ 는 소수계량함수(Prime-counting function), 즉 x 미만의 소수의 개수를 출력하는 함수이며, li(x) 는 로그적분함수(logarithmic integral function)를 의미한다. 이 값의 상한은 지속적인 연구로 계속 줄여졌으며, 현재 1.397×10³¹⁶ 이하임이 알려져 있다.

스큐스 수의 여러 값

스큐스의 스승인 존 에든스너 리틀우드는 $x$가 커짐에 따라 $\pi(x) - li(x)$의 부호가 무한히 많이 바뀜을 증명하였다. 그러나 모든 수치적 계산으로는 π(x) 가 항상 li(x)보다 작은 것처럼 보인다. 리틀우드는 항상 그렇지는 않으며, π(x) − li(x)가 0을 초과하는 수 x가 있다고 주장했다.

스큐스는 1933년에 리만 가설이 참이라는 가정 하에 그것을 증명했다. 즉,

$e^{e^{e^{79}}}$

이하의 수에서 $\pi(x)$의 값이 $li(x)$의 값보다 커지는 순간이 존재한다.

이는 대략

$10^{10^{10^{34}}}$

에 근접한다.

또한 스큐스는 1955년에 리만 가설이 참이라는 가정을 쓰지않고 그 $x$ 값이

$10^{10^{10^{963}}}$

이하임을 증명하였다. 스큐스의 작업은 리틀우드의 존재성 증명을 효과적으로 개선한 것이었다.