절댓값

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수학에서 절댓값 (切對-)이란, 어떤 실수 a를 수직선에 대응시켰을 때, 수직선의 원점에서 실수 a까지의 거리를 의미한다. 이것을 기호로 |a|로 나타낸다.

절댓값은 거리의 개념이므로 반드시 0또는 양수이어야하며, 만약 실수 a가 음수라면, a에 (-1)을 곱해 양수화시켜야한다.

그리고 복소수, 사원수, 벡터 등에 대해서도 절댓값을 일반화시킬 수 있다.

실수[편집]

절대값 함수

어떠한 실수 a의 절대값은 |a| \,로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.

|a| := \begin{cases} a, & \mbox{if }  a \ge 0  \\ -a,  & \mbox{if } a < 0. \end{cases}

정의에 따라, 이 값은 거리이므로 항상 0 이상이다. 따라서 절대값이 가장 작은 수는 0이다. 그리고 다음의 정리들이 성립한다.

|a| = \sqrt{a^2}
|a| \ge 0
|a| = 0 \iff a = 0
|ab| = |a||b|\,
|a+b|  \le |a| + |b|
|-a| = |a|\, (대칭성)
|a - b| = 0 \iff a = b
|a - b|  \le |a - c| +|c - b|  (삼각부등식)
|a/b| = |a| / |b| \mbox{ (if } b \ne 0) \,
|a-b| \ge |a| - |b|

또한, 다음 식은 유용하게 사용된다.

|a| \le b \iff -b \le a \le b
|a| \ge b \iff a \le -b \mbox{ or } b \le a

이 식을 이용하면 절대값이 들어간 부등식을 쉽게 풀 수 있다.

|x-3| \le 9
\iff -9 \le x-3 \le 9
\iff -6 \le x \le 12

복소수[편집]

복소수중에서는 값들의 크기 비교가 불가능한 경우가 있기 때문에[1], 실수에서의 정의를 쓸 수 없다. 대신, 앞에서의 성질 중 하나인

|a| = \sqrt{a^2}

를 이용할 수 있다.

임의의 복소수

z = x + yi\,

에 대해, 절댓값 |z|,는 다음과 같이 정의된다.

|z| :=  \sqrt{x^2 + y^2}.

이렇게 정의하면, 앞의 절대값의 성질이 모두 성립하며, 특히 이 정의는 z가 실수일 때에도 성립하게 된다.

 |x + i0| = \sqrt{x^2 + 0^2} = \sqrt{x^2} = |x|.

이때 피타고라스의 정리에 따라 절대값은 원점과 복소수 사이의 거리를 의미하게 된다. 더 일반적으로, 두 복소수 사이의 거리는 복소수의 차의 절대값이 된다.

주석[편집]

  1. 복소수에도 임의의 순서를 줄 순 있지만, 그렇게 정의한 절대값은 직관적으로 말하는 크기와 대부분 상반된다.

참고[편집]