정수적 원소

가환대수학에서 정수적 원소(整數的元素, 영어: integral element)는 어떤 부분환에 계수를 갖는 일계수 다항식의 근으로 나타낼 수 있는 가환환 원소이다.

정의

가환환 $S$의 부분환 $R\subseteq S$ 및 $s\in S$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 $s$를 $R$의 $S$에 대한 정수적 원소라고 한다.

• $p(s)=0$인 일계수 다항식 $p\in R[x]$가 존재한다.
• $R$와 $\{s\}$로 생성되는 부분환 $R[s]$는 $R$의 유한 생성 가군이다.
• $R[s]\subseteq {\tilde {R}}$이며 $R$-유한 생성 가군을 이루는 부분환 ${\tilde {R}}\subseteq S$가 존재한다.
• $sM\subseteq M$이며 $\operatorname {Ann} _{S}(M)\cap R[s]=\{0\}$인 $R$-유한 생성 가군 $M$이 존재한다.

여기서

• $R[s]=\operatorname {eval} _{x\mapsto s}(S[x])=\{p(s)\colon p\in S[x]\}\subseteq S$이다.
• $\operatorname {Ann} _{S}(M)=\{a\in S\colon aM=\{0_{M}\}\}$은 $M$의 소멸자이다.

가환환 $S$의 부분환 $R\subseteq S$에 대한 정수적 폐포(整數的閉包, 영어: integral closure)는 $R$에 대한 정수적 원소들의 집합이다. 이는 $S$의 부분환을 이룬다.

가환환 $S$는 그 전분수환 $\operatorname {Frac} S$의 부분환이다. 만약 $S$의 $\operatorname {Frac} S$ 속에서의 정수적 폐포가 $S$라면, $S$를 정수적으로 닫힌 가환환(整數的으로 닫힌 可換環, 영어: integrally closed commutative ring)이라고 한다.

도수

가환환 $S$의 부분환 $R\subseteq S$이 주어졌으며, $S$가 $R$ 위에서 정수적으로 닫혀 있다고 하자, $R$-가군 $S/R$의 소멸자 $\operatorname {Ann} _{R}(S/R)\subseteq R$를 $R$의 $S$ 속의 도수(導手, 영어: conductor 콘덕터^[*], 독일어: Führer 퓌러^[*], 프랑스어: conducteur 콩뒤크퇴르^[*]) ${\mathfrak {f}}(S/R)$라고 한다.^:79

${\mathfrak {f}}(S/R)=\operatorname {Ann} _{R}(S/R)=\{r\in R\colon rS\subseteq R\}$

이는 소멸자이므로 $R$의 아이디얼을 이루며, $R$의 아이디얼이자 $S$의 아이디얼이 되는 가장 큰 집합이다.

$R$가 정역이며, $S$가 $R$의 $\operatorname {Frac} R$ 속의 정수적 폐포라고 하고, $S/R$가 $R$-유한 생성 가군이라고 하자. 그렇다면 $R$의 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {f}}(S/R)$
• 국소화 $R_{\mathfrak {p}}$는 $S$ 속에서 정수적으로 닫힌 국소환이다.
• $(S/R)\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}=0$이다. 즉, $S\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}=R_{\mathfrak {p}}$이다.

$R$-가군 $S/R$는 $\operatorname {Spec} R$ 위의 가군층으로 여길 수 있으며, 그 지지 집합은 다음과 같이 도수 ${\mathfrak {f}}(S/R)$로부터 정의되는 (자리스키 위상에서의) 열린집합 $V({\mathfrak {f}}(S/R))$의 여집합이다.

$\operatorname {supp} (S/R)=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R\colon (S/R)\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\neq 0\}=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R\colon {\mathfrak {p}}\not \subseteq {\mathfrak {f}}(S/R)\}=(\operatorname {Spec} R)\setminus V({\mathfrak {f}}(S/R))$

나가타 환

정역 $R$가 다음 조건을 만족시킨다면, N-1환이라고 한다.

• $R$의 $\operatorname {Frac} R$ 속의 정수적 폐포 $S$는 $R$-유한 생성 가군이다.

정역 $R$가 다음 조건을 만족시킨다면, N-2환이라고 한다.

• $\operatorname {Frac} R$의 모든 유한 확대 $L/\operatorname {Frac} R$에 대하여, $R$의 $L$ 속의 정수적 폐포는 $R$-유한 생성 가군이다.

뇌터 가환환 $R$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 가환환을 나가타 환(영어: Nagata ring)이라고 한다.^:264

• 임의의 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R$에 대하여, 몫환 $R/{\mathfrak {p}}$는 N-2환이다.
• 임의의 정역 $S$ 및 환 준동형 $R\to S$에 대하여, 만약 이를 통하여 $S$가 $R$-유한 생성 가군을 이룬다면, $S$는 N-2환이다.

정환

정역 $R$ 및 그 분수체 $K=\operatorname {Frac} R$가 주어졌다고 하자. $K$-단위 결합 대수 $A$에 대하여, $A$ 속의 $R$-정환(整環, 영어: order, 독일어: Ordnung) ${\mathcal {o}}\subseteq A$는 다음 조건들을 만족시키는 $A$의 부분환이다.

• ${\mathcal {o}}$는 $K$-단위 결합 대수이다.
• ${\mathcal {o}}$는 $R$-자유 가군이다. (즉, $R$-격자를 이룬다.)
• $K{\mathcal {o}}=A$이다.

$A$ 속의 $R$-정환들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다.

$A$가 가환환일 때, $A$ 속의 $R$-정환 ${\mathcal {o}}\subset A$의 모든 원소는 $R$-정수적 원소이다. 따라서, 최대 $R$-정환이 존재하며, 이는 $R$의 $A$ 속의 정수적 폐포이다. (이는 $A$가 비가환환일 때 성립하지 않는다. 이 경우 모든 정환은 극대 정환에 속하지만, 최대 정환은 일반적으로 존재하지 않는다.)

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체

정수적으로 닫힐 필요충분조건

정역 $S$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 정수적으로 닫힌 가환환이다.
• 임의의 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} S$에 대하여, 국소화 $S_{\mathfrak {p}}$는 정수적으로 닫힌 국소환이다.
• 임의의 극대 아이디얼 ${\mathfrak {m}}\subseteq S$에 대하여, $S_{\mathfrak {m}}$은 정수적으로 닫힌 국소환이다.

뇌터 정역 $R$에 대하여 다음 두 조건들이 서로 동치이다.

• 정수적으로 닫힌 가환환이다.
• 다음 두 조건이 성립한다.
  • $R$는 높이가 1인 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}$들에 대한 국소화 $R_{\mathfrak {p}}\subseteq \operatorname {Frac} R$들의 (분수체 $\operatorname {Frac} R$ 속에서의) 교집합이다.

    $R=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}^{\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}=1}R_{\mathfrak {p}}\subseteq \operatorname {Frac} R$

  • 임의의 높이가 1인 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R$에 대하여, $R_{\mathfrak {p}}$는 이산 값매김환이다.

크룰 차원이 1인 뇌터 국소 정역 $(R,{\mathfrak {m}})$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $R$는 정수적으로 닫힌 가환환이다.
• ${\mathfrak {m}}$은 주 아이디얼이다.
• $R$는 이산 값매김환이다.
• $R$는 데데킨트 정역이다.
• $R$는 정칙 국소환이다.

코언-사이던버그 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 가환환 $S$
• $S$의 부분환 $R\subseteq S$. 또한, $S$의 모든 원소는 $R$-정수적 원소이다.
• $R$-소 아이디얼들의 사슬 $({\mathfrak {p}}_{i})_{1\leq i\leq k}$ 및 $S$-소 아이디얼들의 사슬 $({\mathfrak {q}}_{i})_{m\leq i\leq n}$ ($1\leq m\leq n\leq k$). 또한, $m\leq i\leq n$에 대하여 ${\mathfrak {q}}_{i}\mid {\mathfrak {p}}_{i}$이다. 즉, ${\mathfrak {q}}_{i}\cap R={\mathfrak {p}}_{i}$이다.

  ${\begin{matrix}&&&&{\mathfrak {q}}_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{n}&&&&&\qquad \subseteq S\\{\mathfrak {p}}_{1}&\subseteq \cdots \subseteq &{\mathfrak {p}}_{m-1}&\subseteq &{\mathfrak {p}}_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {p}}_{n}&\subseteq &{\mathfrak {p}}_{n+1}&\subseteq \cdots \subseteq &{\mathfrak {p}}_{k}&\qquad \subseteq R\end{matrix}}$

또한, 다음 두 조건 가운데 하나가 성립한다고 하자.

• $S$는 정역이며, $R$는 ($\operatorname {Frac} R$ 속에서) 정수적으로 닫힌 정역이다.
• $m=1$이다.

그렇다면, 코언-사이던버그 정리(영어: Cohen–Seidenberg theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

• ${\mathfrak {q}}_{i}\mid {\mathfrak {p}}_{i}\forall 1\leq i\leq k$가 되게 소 아이디얼 사슬 $\{{\mathfrak {q}}_{i}\}$를 연장시킬 수 있다. 즉, 다음이 성립하는 $S$-소 아이디얼 $\{{\mathfrak {q}}_{i}\}_{i\in \{1,\dots ,m-1,n+1,\dots ,k}\}$가 존재한다.

  ${\begin{matrix}\exists {\mathfrak {q}}_{1}&\subseteq \cdots \subseteq &\exists {\mathfrak {q}}_{m-1}&\subseteq &{\mathfrak {q}}_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{n}&\subseteq &\exists {\mathfrak {q}}_{n+1}&\subseteq \cdots \subseteq &\exists {\mathfrak {q}}_{k}&\qquad \subseteq S\\{\mathfrak {p}}_{1}&\subseteq \cdots \subseteq &{\mathfrak {p}}_{m-1}&\subseteq &{\mathfrak {p}}_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {p}}_{n}&\subseteq &{\mathfrak {p}}_{n+1}&\subseteq \cdots \subseteq &{\mathfrak {p}}_{k}&\qquad \subseteq R\end{matrix}}$

여기서 ${\mathfrak {q}}_{i}\mid {\mathfrak {p}}_{i}$라는 것은 $({\mathfrak {q}}_{i})\cap R={\mathfrak {p}}_{i}$임을 뜻한다.

즉, 정수적 확대에 대하여 소 아이디얼의 사슬을 위로 연장할 수 있으며(영어: going up), 추가 조건 아래 소 아이디얼의 사슬을 아래로도 연장할 수 있다(영어: going down).

크룰-아키즈키 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• $R$는 크룰 차원이 1인 가환 뇌터 축소환이다. $K=\operatorname {Frac} R$는 그 전분수환이다.
• $L$은 가환환이며, 단사 함수인 환 준동형 $\iota \colon K\hookrightarrow L$이 주어져 있다. 또한, 덧셈 몫군 $L/K$는 유한군이다.
• $S\subseteq L$은 $R$의 $L$ 속의 정수적 폐포이다.

크룰-아키즈키 정리(Krull-[秋月]定理, 영어: Krull–Akizuki theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

• $S$ 역시 크룰 차원이 1인 가환 뇌터 환이다.
• $S$의 임의의 아이디얼 ${\mathfrak {a}}\subseteq S$에 대하여, 만약 ${\mathfrak {a}}$가 영 아이디얼이 아니라면, 덧셈 몫군 $(S/{\mathfrak {a}})/(R/(R\cap {\mathfrak {a}}))$는 유한군이다. (그러나 덧셈 몫군 $S/R$는 유한군이 아닐 수 있다. 즉, 이는 ${\mathfrak {a}}$가 영 아이디얼일 때 성립하지 못할 수 있다.)
• 만약 $R$가 추가로 데데킨트 정역이라면, $S$ 역시 데데킨트 정역이다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• $R$는 가환 뇌터 축소환이다. $K=\operatorname {Frac} R$는 그 전분수환이다.
• $S$는 $R$의 $K$ 속의 정수적 폐포이다.
• $R$는 $n$개의 극소 소 아이디얼 (소 아이디얼들의 포함 관계에 대한 극소 원소, 즉 높이가 0인 소 아이디얼)들을 갖는다.

모리-나가타 정리([森]-[永田]定理, 영어: Mori–Nagata theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

• $S$는 $n$개의 크룰 정역들의 직접곱이다.

이는 크룰-아키즈키 정리의 고차원 가환환에 대한 부분적 일반화이다.

역사

코언-사이던버그 정리는 어빈 솔 코언과 에이브러햄 사이던버그(영어: Abraham Seidenberg, 1916~1988)가 증명하였다.

크룰-아키즈키 정리는 볼프강 크룰과 아키즈키 야스오(일본어: 秋月 康夫, 1902~1984)가 증명하였다.

모리-나가타 정리는 모리 요시로(일본어: 森 誉四郎)와 나가타 마사요시 가 증명하였다.

외부 링크

• “Integral extension of a ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Conductor of an integral closure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Order”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Integrally closed”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Integral closure”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Number field order”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Maximal order”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Stankewicz, Jim (2009년 7월 2일). “Dedekind domains, Krull-Akizuki and the Picard group”. 《Rigorous Trivialities》 (영어).