역함수 정리

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미적분학
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역함수 정리(inverse function theorem, 逆函數 定理)는 실해석학의 기초적인 정리 중 하나로, 어떤 함수가 주어졌을 때 그 역함수미분가능성 및 그 값에 대한 정보를 제공한다.

일변수 공식화[편집]

일변수 함수에서 역함수 정리는 다음과 같이 쓸 수 있다.[1]

  1. I가 실직선 상의 구간, 함수 f:I→R이 I에서 강단조이고 연속이라 하자. 그러면 f의 강단조이고 연속인 역함수가 존재하여 g:f(I)→R로 쓸 수 있다.[2]
  2. 만약 f가 c∈I에서 미분가능하고 f'(c)≠0이면, g는 f(c)에서 미분가능하고, g'(f(c)) = \frac{1}{f'(c)} 가 성립한다. 마지막 식은 g'(d) = \frac{1}{f'(g(d))} 와 같이 다시 쓸 수도 있다.

증명[편집]

카라테오도리 보조정리를 이용하여 간단히 증명할 수 있다.[1] 먼저 f'(c)가 존재하므로 카라테오도리 보조정리에 의해 모든 x∈I에서 f(x) - f(c) = φ(x)(x-c)를 만족하는 c에서 연속이고 φ(c) = f'(c)인 함수 φ가 존재한다. 가정에서 φ(c)≠0이고 φ는 c에서 연속이므로, 모든 x∈V∩I[3]에 대해 φ≠0인 c의 적당한 근방 V:=(c-a, c+a)가 존재한다. 이제 g는 모든 y∈f(V∩I)에 대해 f(g(y)) = y를 만족하므로, 이상의 식에 g(y)를 대입하면,

  • y - f(c) = f(g(y)) - f(g(f(c))) = φ(g(y))(g(y) - g(f(c))).

그런데 모든 y∈f(V∩I)에 대해 φ(g(y))≠0이므로 양 변을 φ(g(y))로 나누면 다음과 같다.

  • g(y) - g(f(c)) = \frac{1}{\phi(g(y))}(y - f(c)).

함수 \frac{1}{\phi \circ g} 가 f(c)에서 연속이므로 카라테오도리 보조정리에 의해 g'(f(c))가 존재하고, 조건에 의해 g'(f(c)) = \frac{1}{\phi(g(f(c)))} = \frac{1}{\phi(c)} = \frac{1}{f'(c)}.

다변수 공식화[편집]

임의의 n차원 유클리드 공간에 대해 역함수 개념을 생각할 수 있으므로 다변수함수에 대해서도 역함수 정리가 일반적인 형태로 존재한다. 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.[4]

  • Rn 내의 열린집합 V에 대해 V에서 미분가능하고 모든 편도함수가 연속인 함수 f:V→Rn 가 있다. 만약 어떤 c∈V에 대해 \Delta_f(\mathbf{c}) \ne 0 이면(\Delta_f는 f의 야코비안) 열린집합 V0⊂V와 W0⊂f(V)가 존재하여 다음 셋을 만족한다.
  1. f의 정의역을 V0, 공역을 W0로 제한하면 f는 전단사함수이고, 여기서 역시 전단사인 역함수 g:W0→V0가 존재한다.
  2. g는 W0에서 미분가능하고 모든 편도함수가 연속이다.
  3. 모든 f(x)∈W0에 대하여, D(g)(f(\mathbf{x})) = inv[Df(\mathbf{x})]. 여기서 inv(A)는 A의 역행렬을 의미한다.

주석[편집]

  1. Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006, 213쪽.
  2. 별도의 증명이 필요하나 여기서는 생략한다.
  3. 이는 다시 구간이 된다.
  4. 김락중 외, 《해석학 입문》, 경문사, 2007, 322-323쪽.