역함수 정리

역함수 정리(inverse function theorem, 逆函數 定理)는 실해석학의 기초적인 정리 중 하나로, 어떤 함수가 주어졌을 때 그 역함수의 미분가능성 및 그 값에 대한 정보를 제공한다.

일변수 공식화

일변수 함수에서 역함수 정리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

1. I가 실직선 상의 구간, 함수 f:I→R이 I에서 강단조이고 연속이라 하자. 그러면 f의 강단조이고 연속인 역함수가 존재하여 g:f(I)→R로 쓸 수 있다.
2. 만약 f가 c∈I에서 미분가능하고 f'(c)≠0이면, g는 f(c)에서 미분가능하고, $g'(f(c)) = \frac{1}{f'(c)}$ 가 성립한다. 마지막 식은 $g'(d) = \frac{1}{f'(g(d))}$ 와 같이 다시 쓸 수도 있다.

증명

카라테오도리 보조정리를 이용하여 간단히 증명할 수 있다. 먼저 f'(c)가 존재하므로 카라테오도리 보조정리에 의해 모든 x∈I에서 f(x) - f(c) = φ(x)(x-c)를 만족하는 c에서 연속이고 φ(c) = f'(c)인 함수 φ가 존재한다. 가정에서 φ(c)≠0이고 φ는 c에서 연속이므로, 모든 x∈V∩I에 대해 φ≠0인 c의 적당한 근방 V:=(c-a, c+a)가 존재한다. 이제 g는 모든 y∈f(V∩I)에 대해 f(g(y)) = y를 만족하므로, 이상의 식에 g(y)를 대입하면,

• y - f(c) = f(g(y)) - f(g(f(c))) = φ(g(y))(g(y) - g(f(c))).

그런데 모든 y∈f(V∩I)에 대해 φ(g(y))≠0이므로 양 변을 φ(g(y))로 나누면 다음과 같다.

• $g(y) - g(f(c)) = \frac{1}{\phi(g(y))}(y - f(c)).$

함수 $\frac{1}{\phi \circ g}$ 가 f(c)에서 연속이므로 카라테오도리 보조정리에 의해 g'(f(c))가 존재하고, 조건에 의해 $g'(f(c)) = \frac{1}{\phi(g(f(c)))} = \frac{1}{\phi(c)} = \frac{1}{f'(c)}.$

다변수 공식화

임의의 n차원 유클리드 공간에 대해 역함수 개념을 생각할 수 있으므로 다변수함수에 대해서도 역함수 정리가 일반적인 형태로 존재한다. 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.

• Rⁿ 내의 열린집합 V에 대해 V에서 미분가능하고 모든 편도함수가 연속인 함수 f:V→Rⁿ 가 있다. 만약 어떤 c∈V에 대해 $\Delta_f(\mathbf{c}) \ne 0$ 이면($\Delta_f$는 f의 야코비안) 열린집합 V₀⊂V와 W₀⊂f(V)가 존재하여 다음 셋을 만족한다.

1. f의 정의역을 V₀, 공역을 W₀로 제한하면 f는 전단사함수이고, 여기서 역시 전단사인 역함수 g:W₀→V₀가 존재한다.
2. g는 W₀에서 미분가능하고 모든 편도함수가 연속이다.
3. 모든 f(x)∈W₀에 대하여, $D(g)(f(\mathbf{x})) = inv[Df(\mathbf{x})].$ 여기서 inv(A)는 A의 역행렬을 의미한다.