음함수 정리

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음함수 정리(the implicit function theorem, 陰函數 定理)는 해석학정리로, 음함수 꼴로 표현된 어떤 함수양함수 꼴로 표현될 수 있을 조건을 제시하는 정리이다. 일반적으로 임의의 음함수는 항상 양함수로 표현될 수 없지만, 음함수 정리의 조건을 만족하는 함수는 항상 양함수 표현이 존재하여 양함수 꼴로 손쉽게 다룰 수 있게 된다. 다만 여기서 다루는 함수는 좋은 성질을 갖는 함수, 즉 연속적으로 미분가능한 함수에 국한된다.

공식화[편집]

n+m차원 유클리드 공간열린 부분집합 W에 대하여 함수 F = (F1, ..., Fm) : W→Rm는 W 위에서 모든 변수에 대한 편도함수가 존재하고 그 편도함수들이 연속인 함수이다. 이제 어떤 x0∈Rn, y0∈Rm, (x0, y0)∈W에 대하여 F(x0, y0) = 0이라 가정하자. 만약,

\frac{\partial(F_1, ..., F_m)}{\partial(y_1, ..., y_m)}(\mathbf{x}_0, \mathbf{y}_0) \ne 0

이라면, 이 조건을 만족하는 점들이 속하는 x0의 열린 근방 U⊂Rn, y0의 열린 근방 V⊂Rm 에 대하여 모든 변수에 대한 편도함수가 존재하고 그 편도함수들이 연속인 유일한 함수 f:U→V가 존재하여 f(x0) = y0이고 모든 x∈U에 대하여 F(x, f(x)) = 0을 만족한다.[1]

예제[편집]

간단한 이변수 함수의 예를 생각해 볼 수 있다. 다음과 같은 을 표현하는 음함수에 대하여,

x^2 + y^2 = 1

F = x^2 + y^2 - 1 으로 두면, \frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0) = 2y_0 이 된다. 따라서, y ≠ 0인 경우에는 이 음함수의 양함수 표현이 존재한다. 이 표현은 y = 0인 점을 포함하지 않는 임의 y의 적당한 열린 근방을 공역으로 하는 양함수에 대하여 유일한데, 위쪽 반평면에서는 y = \sqrt{1 - x^2} 이고, 아래쪽 반평면에서는 y = -\sqrt{1 - x^2} 가 된다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. 김락중 외, 《해석학 입문》, 경문사, 2007, 326쪽.

참고 문헌[편집]

  • 김락중 외, 《해석학 입문》, 경문사, 2007.