리만-후르비츠 공식

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기하학복소해석학에서, 리만-후르비츠 공식(영어: Riemann–Hurwitz formula)은 주어진 곡면 위의 분기 피복(ramified cover)의 오일러 지표에 대한 공식이다.

역사[편집]

베른하르트 리만아돌프 후르비츠가 증명하였다.

정의[편집]

두 콤팩트 리만 곡면 S,T 사이에 정칙함수 \pi\colon T\to S가 존재한다고 하자. 이 함수가 p\in T에서 국소적으로 z\mapsto z^n+O(z^{n+1}) (n>1) 꼴일 경우, 이를 분기점(영어: ramified point)이라고 하고, e_p=n을 그 분기 지표(영어: ramification index)라고 한다. \pi가 유한개의 분기점을 가지고, 분기점이 아닌 점에서는 국소 동형사상(N피복공간)이라고 하자. 그렇다면 두 리만 곡면의 오일러 지표 사이에 다음이 성립한다.

\chi(T)=N\chi(S)-\sum_{p\in T}(e_p-1)

여기서 \sum_{p\in T}\pi의 분기점들에 대한 합이다. 이 공식을 리만-후르비츠 공식이라고 한다.

이 공식에 따라서, 낮은 종수에서 높은 종수로 가는 분기 피복은 존재하지 않는다. 또한, 종수 0의 리만 곡면 위에는 분기점이 없는 피복은 존재하지 않는다.

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바이어슈트라스 타원함수 \wp(\cdot,\Lambda)\colon\mathbb C/\Lambda\to\hat{\mathbb C}는 타원곡선 \mathbb C/\Lambda에서 리만 구면으로 가는 정칙함수다. 이는 2중 피복이며, 또한 네 개의 분기 지표가 2인 분기점을 갖는다. 따라서

0=2\cdot 2-4\cdot(2-1)

이다.

리만 구면위에서 다음과 같은 정칙함수 \hat{\mathbb C}\to\hat{\mathbb C}, z\mapsto z^N을 생각하자 (N>1). 그렇다면 이는 N중 분기 피복이며, 그 분기점은

  • z=0, 분기 지표 n
  • z=\widehat\infty, 분기 지표 n

이다. 따라서 리만-후르비츠 공식은

2=N\cdot2-(n-1)-(n-1)

이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]