대수 곡선

대수 곡선(algebraic curve)은 차원이 1인 대수다양체를 의미한다. 대수 곡선은 대수기하학 분야에서 다루는 대상 중 가장 간단한 대상에 속한다.

접 공간의 개념을 도입하면, 대수 곡선 C위의 점 p가 특이점인지 비특이점인지를 분류할 수 있다. 특이점들은, 대수 곡선이 교차하면서 발생하거나, 아니면 급격하게 꺾어지는 첨점등에서 발행한다. 첨점의 예를 하나 들자면, 방정식 $x^3 = y^2$가 평면에서 만드는 자취로 이루어진 대수곡선위의 점 (0,0)이 있다. 임의의 대수 곡선은, 그 위에 단지 유한개의 특이점들만을 가질 수 있다. 즉, 유한개를 제외한 다른 대부분의 점은 매끈한 점, 즉, 비특이점이다. 만약, 대수 곡선이 단 하나의 특이점도 가지지 않을 경우, 이 대수곡선을 비특이하다고 부른다.

종수(genus)가 0인 대수 곡선을 주로 관례상 유리 곡선이라고 부르고, 종수가 1인 경우는 타원 곡선이라고 부른다.

한편, 주목할 만한 사항은, 아담한 리만 곡면(compact Riemann surface)들은 항상 복소수 체위에서 정의된 비특이 사영 대수곡선이 된다는 것이다. 이것은 간단하게 증명할 수 있는 것은 아니지만, 아담한 리만 곡면을 대수적인 관점에서 볼 수 있는 방법을 제시해 준다. 이러한 대수 곡선들은, 위상수학자들이 보기에는 2차원 다양체가 된다.

개념의 확장

알렉산더 그로센딕이 스킴을 정의한 후에는, 대수 곡선의 개념도 더욱 더 확장되었다. 기존의 고전적인 대수기하학에서는 위와 같이 대수 곡선을 정의하였으나, 이제는 일반적으로 대수 곡선이라고 하면, 임의의 차원 1인 스킴을 말하는 것이 더욱 더 일반적이다. 즉, 아담한 리만 곡면도 대수 곡선이지만, 정수론에서 등장하는 number field의 정수 환(ring of integers)도, 역시 차원이 1인 스킴이므로 대수 곡선으로 볼 수 있다.