대수 곡선

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대수기하학에서, 대수 곡선(對數曲線, 영어: algebraic curve)은 1차원의 대수다양체이다.[1][2] 대수기하학에서 다루는 대상 중 가장 간단한 대상에 속한다.

정의[편집]

고전적으로, 대수 곡선차원이 1인 대수다양체이다. 현대 대수기하학에서는 스킴 이론의 발달로 이 정의가 더 일반화되었으며, 임의의 1차원 스킴을 일컫는다.

분류[편집]

대수적으로 닫힌 체 k에 대한 모든 완비 대수 곡선은 사영 대수다양체이다. 즉, 사영 공간 P^n_k 속에서의 곡선으로 나타낼 수 있다. 사영 대수 곡선의 경우 종수와 차수로 분류된다.

  • 종수(영어: genus) g는 사영 공간으로의 매장에 관계없는, 내재적인 불변량이다. 비특이 대수 곡선의 경우 산술종수기하종수 및 위상수학적인 종수가 일치한다. 대수 곡선은 이 종수 g=0,1,2,\dots에 따라 분류된다. 종수가 0인 대수 곡선을 유리 곡선(영어: rational curve)이라고 부르고, 종수가 1인 경우는 타원 곡선이라고 부른다. 유리곡선은 사영 직선쌍유리 동치이다.
  • 차수(영어: degree) d는 사영 공간으로의 매장에 대하여 주어지는 불변량이다. n차원 사영 공간에서 n-1개의 다항식 p_1,\dots,p_{n-1}으로 주어지는 대수 곡선의 차수는 각 다항식들의 차수의 곱이다. 일반적으로, 대수 곡선의 차수는 일반적인(general place) n-1차원 초평면과의 교차점의 수이다.

모든 완비 대수 곡선은 비특이 사영 평면 곡선과 쌍유리 동치이며, 사영 평면 곡선들의 쌍유리 동치류들은 종수에 따라 완전히 분류된다.

평면 곡선[편집]

사영 평면 곡선(영어: projective plane curve)은 사영 평면 P^2 속의 대수 곡선이다. 특이점이 없는 경우, 종수와 차수는 다음과 같은 관계를 가진다.[2]:54

g=\frac12(d-1)(d-2)

특이점이 있는 경우, 일반적으로

g=\frac12(d-1)(d-2)-\sum_r\frac12r(r-1)

이다. 여기서 \sum_r은 특이점들에 대한 합이며, r는 특이점의 차수(order)이다. 이는 첨가 공식 또는 리만-후르비츠 공식을 통해 증명할 수 있다.

공간 곡선[편집]

사영 공간 곡선(영어: projective space curve)은 3차원 사영 공간 \mathbb P^3 속의 대수 곡선이다. 공간 곡선의 경우, 가능한 종수와 차수의 관계는 더 복잡하다. 차수가 d\le 7인 경우는 완전히 분류되었으나, d\ge8은 아직 완전히 알려지지 않았다.[2]:353–354

일반적으로, 평면 곡선이 아닌 dg대수 곡선의 경우 d\ge3이다. 이 경우 가능한 종수들은 다음과 같다.[2]:351

  • g\le d-3인 경우 항상 이 종수를 가진 대수 곡선이 존재한다.
  • d-3<g<\lfloor d^2/4\rfloor-d+1인 경우 일반적으로 대수 곡선이 존재하는지 여부가 알려져 있지 않다.
  • g=\lfloor d^2/4\rfloor-d+1인 경우 항상 대수 곡선이 존재하며, 이는 항상 이차 곡면의 부분 곡선이다.
  • g>\lfloor d^2/4\rfloor-d+1는 (평면 곡선 g=(d-1)(d-2)/2을 제외하고는) 불가능하다.

현재까지 알려져 있는 가능한 공간 곡선의 차수와 종수는 다음과 같다.[2]:354

12
11  ?
10  ?
9  ?  ?
8  ?  ?
7  ?  ?
6  ?
5
4
3
2
1
0
g / d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

여기서 각 칸의 기호는 다음을 의미한다.

  • ○: 평면 곡선이 존재
  • ●: 평면 곡선이 아닌 공간 곡선이 존재
  •  ?: 공간 곡선의 존재 여부가 알려지지 않음
  • (비어 있음): 공간 곡선 불가능

성질[편집]

대수 곡선에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:105, Remark 4.10.2a

특이점[편집]

자리스키 접공간의 개념을 도입하면, 대수 곡선 C위의 점 p특이점인지 비특이점인지를 분류할 수 있다. 특이점들은, 대수 곡선이 교차하면서 발생하거나, 아니면 급격하게 꺾어지는 첨점등에서 발행한다. 첨점의 예를 하나 들자면, 방정식 x^3 = y^2가 평면에서 만드는 자취로 이루어진 대수 곡선 위의 점 (0,0)이 있다. 임의의 대수 곡선은, 그 위에 단지 유한개의 특이점들만을 가질 수 있다. 즉, 유한개를 제외한 다른 대부분의 점은 비특이점이다. 만약, 대수 곡선이 단 하나의 특이점도 가지지 않을 경우, 이 대수 곡선을 비특이 곡선이라고 한다.

대수 곡선의 특이점은 다음과 같은 세 개의 수 [m,\delta,r]로 완전히 분류된다.

  • m은 특이점의 중복수(영어: multiplicity)이다.
  • \delta는 특이점의 델타 불변량(영어: delta-invariant)이다.
  • r는 특이점의 분지수(영어: branching number)이다.

일부 종류의 특이점은 전통적인 이름을 갖는다. 예를 들어,

  • n중점(영어: n-tuple point)은 [n,n(n-1)/2,n]의 꼴의 특이점이다.
  • 첨점(영어: cusp)은 [2,1,1]의 꼴의 특이점이다.

특이점을 갖는, d차 대수 곡선의 종수는 다음과 같다.

g = \frac12(d-1)(d-2) - \sum_P \delta_P

[편집]

모든 콤팩트 리만 곡면은 항상 대수적이다. 즉, 콤팩트 리만 곡면은 복소수체에 대한 비특이 사영 대수 곡선을 이루며, 항상 3차원 복소 사영 공간 \mathbb CP^3으로 매장할 수 있다.

대수다양체가 아닌 1차원 스킴의 경우, 흔히 볼 수 있는 예로 수체대수적 정수환스펙트럼 \operatorname{Spec}\mathcal O_K 등이 있다.

참고 문헌[편집]

  1. Fulton, William (1989년). 《Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry》. Advanced Book Classics. Addison-Wesley. ISBN 0-201-51010-3. MR 1042981. 
  2. Hartshorne, Robin (1977년). 《Algebraic Geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]