부풀리기

수학에서 부풀리기(blowing up)또는 부풀림(blowup)은 대수기하학에서 나오는 기하 구조를 바꾸는 작업으로, birational geometry에서 꼭 필요한 일이다. 간단히 말하면, 부풀린다는 말은 풍선을 불어 부풀리는 것에서 따온 이름이며 특이점을 해소하여 매끈하게 만드는 것을 말한다. 정확히는 한 점 Z를 부풀린다는 것은 점 Z를 Z의 접평면으로 바꾸는 것이다(더 정확히는 접평면의 사영공간이다).

현대의 대수기하학은 대수다양체가 이미 가지고 있는 성질로서 다룬다. 외부적으로 보자면 부풀린 공간은 어떤 평범한 곡선을 택하여 사영평면으로 변환한 것으로 볼 수 있다. 후자는 더 고전적인 접근방식으로, 엄밀한 용어가 필요하다. 형식적으로는 monoidal 변환이라고 볼 수도 있다. 사영평면에서 부풀리는 것은 한 점을 2차곡선(quadric)으로 바꾸고, 이 곡선은 평면으로 쪼그라들어야 한다. 크레모나 군(Cremona group)의 변환은 'monoidal'이거나 single-centred가 아니다.

복소공간에서 한 점을 부풀리기

점 $Z$를 $n$차원 복소공간 $\mathbb{C}^n$의 원점이라고 하자. 즉 $Z$는 $n$개의 좌표함수 $x_1, \ldots, x_n$가 동시에 0이 되는 점이다. 또, $\mathbb{P}^{n - 1}$를 $(n - 1)$차원 사영공간이라 하고 여기서의 균일좌표 $y_1, \ldots, y_n$를 잡자. $\tilde{\mathbb{C}^n}$는 $\mathbb{C}^n \times \mathbb{P}^{n - 1}$의 부분집합으로, 방정식 $x_i y_j = x_j y_i$를 모든 $i, j = 1, \ldots, n$에 대해 한꺼번에 만족시킨다. 사영

$\pi : \mathbb{C}^n \times \mathbb{P}^{n - 1} \to \mathbb{C}^n$

는 다음과 같은 홀로모픽 사상

$\pi : \tilde{\mathbb{C}^n} \to \mathbb{C}^n$

을 자연스럽게 기술한다. 이 사상$\pi$ (또는 가끔 공간 $\tilde{\mathbb{C}^n}$자체)를, $\mathbb{C}^n$를 부풀렸다고 한다.

예외 나눔자 $E$는 부풀린 $Z$의 $\pi$에 대한 역사상으로 정의한다. 그러면

$E = Z \times \mathbb{P}^{n - 1} \subseteq \mathbb{C}^n \times \mathbb{P}^{n - 1}$

이 사영공간을 갖다놓은 것이라고 쉽게 이해할 수 있다. 이는 효과적인 나눔자이다. $E$에서 벗어나면, $\pi$는 $\tilde{\mathbb{C}^n} \setminus E$와 $\mathbb{C}^n \setminus Z$사이의 동형사상이다; 즉 $\tilde{\mathbb{C}^n}$과 $\mathbb{C}^n$ 사이의 birational map이다.

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