부풀리기

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대수기하학에서, 부풀리기(blowup)는 대수다양체스킴특이점을 해소하기 위하여 특이점을 특이점에 대한 사영 접평면으로 대체하는 과정이다.[1]

현대의 대수기하학대수다양체의 내적인 성질로서 다룬다. 외부적으로 보자면 부풀린 공간은 어떤 평범한 곡선을 택하여 사영평면으로 변환한 것으로 볼 수 있다. 후자는 더 고전적인 접근방식으로, 엄밀한 용어가 필요하다. 형식적으로는 monoidal 변환이라고 볼 수도 있다. 사영평면에서 부풀리는 것은 한 점을 2차곡선(quadric)으로 바꾸고, 이 곡선은 평면으로 쪼그라들어야 한다. 크레모나 군(Cremona group)의 변환은 'monoidal'이거나 single-centred가 아니다.

정의[편집]

\mathbb A^n대수적으로 닫힌 체에 대한 n차원 아핀 공간이라고 하고, \mathbb P^{n-1}이 같은 체에 대한 n-1차원 사영공간이라고 하자. \mathbb A^n의 좌표를 x_1,\dots,x_n이라고 하고, \mathbb P^{n-1}동차좌표y_1,\dots,y_n이라고 하자.

원점 0\in\mathbb A^n에 대한 부풀리기 \tilde{\mathbb A}^n\subset\mathbb A^n\times\mathbb P^{n-1}는 다음과 같은 준사영 다양체(quasiprojective variety)이다.

\tilde{\mathbb A}^n=\{(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n)|x_iy_j=x_jy_i\forall i,j=1,\dots,n\}.

물론 다음과 같은 자연스러운 사영 사상이 존재한다.

\pi\colon\tilde{\mathbb A}^n\to\mathbb A^n
(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n)\mapsto(x_1,\dots,x_n).

이 사상은 체가 복소수일 경우 정칙사상(regular map)이다.

이 사상은 \mathbb A^n\setminus\{0\}에 국한하여 동형사상(즉, 쌍유리사상 birational map)이다. 0\in\mathbb A^n에서는 E=\pi^{-1}(0)\cong\mathbb P^{n-1}이다. 즉, \tilde{\mathbb A}^n\mathbb A^n에서 원점만을 사영공간 \mathbb P^{n-1}로 대체하여 얻는 공간이다. E\subset\tilde{\mathbb A}^n예외인자(exceptional divisor)라고 한다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Hartshorne, Robin (1977년). 《Algebraic Geometry》, Graduate Texts in Mathematics 52, ISSN 0072-5285. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. MR0463157. Zbl 0367.14001. ISBN 978-0-387-90244-9
  • Fulton, William (1998). 《Intersection Theory》. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98549-2
  • Griffiths, Phillip, Harris, Joseph (1978). 《Principles of Algebraic Geometry》. John Wiley and Sons. ISBN 0-471-32792-1

함께 보기[편집]