부풀리기

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아핀 평면의 원점의 부풀리기. 회색 직선들은 아핀 평면의 원점을 지나는 직선들이며, 붉은 직선은 부풀리기로 추가된 예외적 곡선이다.

대수기하학에서, 부풀리기(blowup)는 대수다양체스킴특이점을 해소하기 위하여 특이점을 특이점에 대한 사영 접평면으로 대체하는 과정이다.[1]

현대 대수기하학에서의 부풀리기는 대수다양체의 내재적인 변환이다. 고전 대수기하학에서는 이를 외재적으로, 어떤 평범한 곡선을 택하여 사영평면으로 변환한 것으로 정의하지만, 이는 엄밀히 말하면 다른 개념이다.

정의[편집]

대수다양체의 부풀리기[편집]

\mathbb A^n대수적으로 닫힌 체에 대한 n차원 아핀 공간이라고 하고, \mathbb P^{n-1}이 같은 체에 대한 n-1차원 사영 공간이라고 하자. \mathbb A^n의 좌표를 x_1,\dots,x_n이라고 하고, \mathbb P^{n-1}동차좌표y_1,\dots,y_n이라고 하자.

원점 0\in\mathbb A^n에 대한 부풀리기 \operatorname{Bl}_0\mathbb A^n\subset\mathbb A^n\times\mathbb P^{n-1}는 다음과 같은 준사영 다양체(quasiprojective variety)이다.

\operatorname{Bl}_0\mathbb A^n=\{(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n)|x_iy_j=x_jy_i\forall i,j=1,\dots,n\}.

물론 다음과 같은 자연스러운 사영 사상이 존재한다.

\pi\colon\operatorname{Bl}_0\mathbb A^n\to\mathbb A^n
(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n)\mapsto(x_1,\dots,x_n).

이 사상은 체가 복소수일 경우 정칙사상(regular map)이다.

이 사상은 \mathbb A^n\setminus\{0\}에 국한하여 동형사상(즉, 쌍유리 사상)이다. 0\in\mathbb A^n에서는 E=\pi^{-1}(0)\cong\mathbb P^{n-1}이다. 즉, \operatorname{Bl}_0\mathbb A^n\mathbb A^n에서 원점만을 사영 공간 \mathbb P^{n-1}로 대체하여 얻는 공간이다. E\subset\operatorname{Bl}_0\mathbb A^n예외인자(exceptional divisor)라고 한다.

스킴의 부풀리기[편집]

스킴 X 위의 연접 아이디얼 층 \mathcal I가 있다고 하자. 그렇다면 X의, \mathcal I에서의 부풀리기 \operatorname{Bl}_{\mathcal I}X\to X는 다음과 같다.

\operatorname{Bl}_{\mathcal I}X=\operatorname{Proj}\bigoplus_{n=0}^\infty\mathcal I^n

여기서 \operatorname{Proj}는 가환 등급환사영 스펙트럼이다.

참고 문헌[편집]

  1. Hartshorne, Robin (1977년). 《Algebraic Geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
  • Fulton, William (1998년). 《Intersection Theory》 (영어). Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 2. Springer. ISBN 0-387-98549-2. MR 1644323. 
  • Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978년). 《Principles of Algebraic Geometry》 (영어). John Wiley and Sons. ISBN 0-471-32792-1. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]