아벨 다양체

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대수기하학에서, 아벨 다양체(Abel多樣體, 영어: Abelian variety) 또는 가환다양체(可換多樣體)는 아벨 군을 이루는 대수다양체다. 가환 리 군에 대응되는 대수기하학적 개념이다.

정의[편집]

k에 대한 아벨 다양체k에 대한, 대수군을 이루는 연결 사영 대수다양체이다.

복소수체 \mathbb C에 대한 g차원 아벨 다양체는 해석적으로 원점을 갖춘 복소 원환면

V/\Lambda\cong T^{2g}

이다. 여기서

  • V\cong\mathbb C^gg차원 복소 벡터공간이다.
  • \Lambda\subset VV 속의 격자이다.

이 데이터가 아벨 다양체를 이루려면 (즉, 사영 대수다양체를 이루려면) 다음과 같은 리만 조건(영어: Riemann conditions)을 만족시켜야 한다.

  • V 위에 반쌍형적(sesquilinear) 형식 K\colon V\times V\to\mathbb C이 존재해, 다음 조건을 만족시켜야 한다.
    • (에르미트성) 임의의 u,v\in V에 대해, \langle u,v\rangle=\overline{\langle v,u\rangle}
    • (반쌍형성) 임의의 \alpha,\alpha'\in\mathbb C, u,v,v'\in V에 대해, \langle u,\alpha v+\alpha'v'\rangle=\alpha\langle u,v\rangle+\alpha'\langle u,v'\rangle
    • (정부호성) 임의의 0이 아닌 u\in V에 대하여, \langle u,u\rangle>0이다.
    • (정수성) \operatorname{Im}\langle\Lambda,\Lambda\rangle\subset\mathbb Z이다.

이러한 형식을 리만 형식(영어: Riemann form)이라고 한다. 이렇게 하면, (V/\Lambda,K)켈러 다양체를 이루고, 켈러 형식 K는 정수 코호몰로지 K\in H^2(V/\Lambda;\mathbb Z)의 원소이다. 따라서, 고다이라 매장 정리에 따라 V/\Lambda사영 대수다양체를 이룬다.

복소 아벨 다양체 위의 유리형함수아벨 함수(영어: Abelian function)라고 한다. 즉, 이는 g개의 복소 변수를 갖고, 모든 변수에 대하여 주기적유리형함수이다.

등원사상[편집]

등원사상(等原寫像, 영어: isogeny 아이소제니[*])은 두 아벨 다양체 사이의, 유한집합전사 군 준동형사상이다. 영어명 영어: isogeny 아이소제니[*]그리스어: ἰσογενής 이소게네스[*](같은 원점에서 옴)에서 왔는데, 이는 등원사상이 아벨 다양체의 원점(항등원)을 보존시키기 때문이다.

예를 들어, 두 아벨 다양체 V/\Lambda, V/\Lambda'에서 \Lambda\subset\Lambda'인 경우, 다음과 같은 등원사상 V/\Lambda\to V/\Lambda'이 자연스럽게 존재한다.

극성화[편집]

아벨 다양체의 극성화(極性化, 영어: polarization)는 다양체로부터 그 쌍대 다양체로의 등원사상이다. 주극성화(영어: principal polarization)는 동형사상인 극성화 (즉, 다양체로부터 그 쌍대 다양체로의 동형사상)이다. (주)극성화 아벨 다양체(영어: (principally) polarized Abelian variety)는 (주)극성화를 갖춘 아벨 다양체이다.

복소수체에 대한 아벨 다양체의 경우, 주극성화는 리만 형식의 동치류에 의하여 주어진다. 구체적으로, 두 리만 형식 H,H'이 양의 정수 n,n'\in\mathbb Z^+이 존재해 nH=n'H'인 경우, H\sim H'으로 정의한다. 그렇다면 리만 형식의 동치류 [H]는 주극성화를 정의한다.

복소 g차원 주극성화 아벨 다양체의 모듈러스 공간 \mathcal A_g는 다음과 같다.

\mathcal A_g=\operatorname{Sp}(2g;\mathbb Z)\backslash\operatorname{Sp}(2g;\mathbb R)/\operatorname U(g)

여기서 \operatorname{Sp}(2g;\mathbb R)는 리만 형식을 보존하는 심플렉틱 변환들의 집합이고, \operatorname{Sp}(2g;\mathbb Z)는 리만 형식의 동치에 의하여 생성되는 군이다. 여기서 \operatorname{Sp}(2g;\mathbb R)/\operatorname U(g)지겔 상반평면(영어: Siegel upper half-plane)이라고 하는데, 이는 g=1일 경우 일반적인 복소 상반평면이기 때문이다.

이는 복소 g(g+1)/2차원 오비폴드이다. 모든 (대수다양체가 아닐 수 있는) 복소 원환면들의 모듈러스 공간의 차원은 복소 g^2차원이므로, g>1인 경우 거의 모든 복소 원환면은 아벨 다양체가 아니다. 다만, g=1인 경우 (타원곡선) 모든 복소 원환면은 대수적이다.

예를 들어, g=1인 경우 \operatorname{Sp}(2;\mathbb Z)=\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)모듈러 군이고,

\operatorname{Sp}(2;\mathbb R)/\operatorname U(1)=\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)/\operatorname{SO}(2)\cong\{z\mapsto az+b|a\in\mathbb R^+,b\in\mathbb R\}\cong \mathbb H

는 (아핀) 복소 상반평면이므로

\mathcal A_1=\mathbb H/\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)

는 복소 타원 곡선의 모듈러스 공간이다.

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아벨 다양체의 주된 예는 대수곡선야코비 다양체 또는 일반적인 대수다양체알바네세 다양체이다. 1차원 아벨 다양체는 타원 곡선이라고 한다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]