Ext 함자

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호몰로지 대수학에서, Ext 함자(Ext函子, 영어: Ext functor)는 사상 함자(hom functor)의 유도 함자다.

어원[편집]

‘Ext’는 영어: extension(확대)의 약자다. 이는 Ext 함자가 군의 확대와 관련있기 때문이다. 아벨 군 G를 다른 아벨 군 H로 확대한다면, 가능한 확대들은 \operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,H)일대일 대응한다.

정의[편집]

R이 (단위원을 가진) 이고, _R{}\operatorname{Mod}R에 대한 좌가군(left module)들의 범주라고 하자. 이 범주는 아벨 범주를 이룬다. 따라서, 두 (좌)가군 A,B\in{}_R\operatorname{Mod} 사이의 사상들의 집합 \hom(A,B)아벨 군을 이룬다. 즉, \hom\colon(_R\operatorname{Mod})^{\operatorname{op}}\times{}_R\operatorname{Mod}\to\operatorname{Ab}쌍함자(bifunctor)를 이룬다. 여기서 \operatorname{Ab}아벨 군들의 범주다.

또한, \hom 함자의 경우, \hom(A,\cdot)\colon{}_R\operatorname{Mod}\to\operatorname{Ab}좌완전 함자(left-exact functor)이며, 따라서 그 우유도 함자(right-derived functor) R^i\hom(A,\cdot)를 취할 수 있다. 마찬가지로, \hom(\cdot,B)\colon({}_R\operatorname{Mod})^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Ab}는 우완전 함자(right-exact functor)이며, 따라서 좌유도 함자(left-derived functor) L^i\hom(\cdot,B)를 취할 수 있다. 이 둘은 사실 같은 쌍함자를 이룬다. 즉,

R^i\hom(A,B)=L^i\hom(A,B)=\operatorname{Ext}^i_R(A,B)

이다. 이 쌍함자 \operatorname{Ext}^i_R\colon({}_R\operatorname{Mod})^{\operatorname{op}}\times{}_R\operatorname{Mod}\to\operatorname{Ab}Ext 함자라고 한다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]