사슬 복합체

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수학에서 사슬 복합체(-複合體, 영어: chain complex)는 대수적 위상수학에서 개발된 도구로, 여러 차원에서 공간의 성질을 나타내기 위해 쓰인다.

정의[편집]

아벨 범주 \mathcal C가 주어졌다고 하자. (예를 들어, 아벨 군이나 가군, 또는 아벨 군 값을 갖는 등이 있다.)

\mathcal C 속의 사슬 복합체 (A_\bullet, d_\bullet)\mathcal C의 대상들의 열 ... A-2, A-1, A0, A1, A2, ...로, 각 항 사이에 사상 dn : AnAn−1가 있어서 서로 이웃한 두 사상의 합성이 0인 경우, 즉 임의의 n에 대해 dn o dn+1 = 0인 경우를 말한다. 이는 보통 기호로 다음과 같이 나타낸다.

\cdots \to 
A_{n+1}\xrightarrow{d_{n+1}}
A_n \xrightarrow{d_n}
A_{n-1} \xrightarrow{d_{n-1}}
A_{n-2} \to \cdots

이 경우, 사상 d_n경계 사상(영어: boundary map)라고 하고, A_n의 원소는 n사슬(영어: n-chain)이라고 한다. d_n\alpha=0n차 사슬 \alpha\in A_n순환(영어: cycle 사이클[*])이라고 한다.

공사슬 복합체(영어: cochain complex}) (A^\bullet, d^\bullet)는 유사하지만, 화살표의 방향이 반대이다.

\cdots \to 
A_{n-2}\xrightarrow{d^{n-2}}
A_{n-1}\xrightarrow{d^{n-1}}
A_n \xrightarrow{d^n}
A_{n+1} \to \cdots

이 경우, 사상 d^n공경계 사상(영어: coboundary map)라고 하고, A_n의 원소는 n공사슬(영어: n-cochain)이라고 한다. d_n\alpha=0n차 공사슬 \alpha\in A_n쌍대순환(영어: cocycle)이라고 한다.

\mathcal C 속의 사슬 복합체들과 이들 사이의 사슬 사상들의 범주\operatorname{Comp}(\mathcal C)라고 한다.

사슬 사상[편집]

아벨 범주 \mathcal C 속의 두 사슬 복합체 (C_\bullet,d_{C\bullet}), (D_\bullet,d_{D\bullet}) 사이의 사슬 사상(영어: chain map) f_\bullet\colon C_\bullet\to D_\bullet은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • i\in\mathbb Z에 대하여, \mathcal C 속의 사상 f_i\colon C_i\to D_i

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

d_{Di}\circ f_i=f_{i-1}d_{Ci}

마찬가지로, 공사슬 복합체 사이의 공사슬 사상 또한 같은 방식으로 정의된다.

참고 문헌[편집]

  • Bott, Raoul, Loring Tu (1982년). 《Differential Forms in Algebraic Topology》. Springer

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]