Tor 함자

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호몰로지 대수학에서, Tor 함자(Tor函子, 영어: Tor functor)는 가군 텐서곱 함자유도 함자다.

정의[편집]

R이 (단위원을 가진) 이고, _R{}\operatorname{Mod}R에 대한 좌가군(left module)들의 범주, \operatorname{Mod}_RR에 대한 우가군(right module)들의 범주라고 하자. 이 범주들은 아벨 범주를 이룬다.

우가군 A\in\operatorname{Mod}_R와 좌가군 B\in{}_R\operatorname{Mod}텐서곱을 취하여 아벨 군 A\otimes_RB\in\operatorname{Ab}를 취할 수 있다. 이 텐서곱 연산 \otimes_R\colon\operatorname{Mod}_R\times{}_R\operatorname{Mod}\to\operatorname{Ab}쌍함자(bifunctor)를 이룬다. 여기서 \operatorname{Ab}아벨 군들의 범주다.

A\otimes_R\colon{}_R\operatorname{Mod}\to\operatorname{Ab}우완전 함자(right-exact functor)이며, 따라서 그 좌유도 함자(left-derived functor) L^i(A\otimes)를 취할 수 있다. 마찬가지로, \otimes_RB\colon\operatorname{Mod}_R\to\operatorname{Ab} 또한 우완전 함자이며, 따라서 좌유도 함자 L^i(\otimes_RB)를 취할 수 있다. 이 둘은 사실 같은 쌍함자를 이룬다. 즉,

L^i(A\otimes_R)B=A(L^i\otimes_RB)=\operatorname{Tor}^R_i(A,B)

이다. 이 쌍함자 \operatorname{Tor}^R_i\colon\operatorname{Mod}_R\times{}_R\operatorname{Mod}\to\operatorname{Ab}Tor 함자라고 한다.

성질[편집]

Tor 함자는 직합을 보존한다. 즉,

\operatorname{Tor}_n^R\left(\bigoplus_{i\in I}M_i,\bigoplus_{j\in J}N_j\right)=\bigoplus_{i\in I}\bigoplus_{j\in J}\operatorname{Tor}_n^R(M_i,N_j)

이다.

만약 R가환환인 경우, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다.

\operatorname{Tor}_n^R(M,N)\cong\operatorname{Tor}_n^R(M,N)

또한, 이 경우 \operatorname{Tor}_n^R(M,N)R 위의 가군의 구조를 갖는다.

만약 R가 가환환이며, r\in R영인자가 아닐 때, 다음이 성립한다.

\operatorname{Tor}_1^R(R/(r),M)=\ker(r\cdot)=\{m\in M\colon rm=0\}

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벡터 공간[편집]

K 위의 가군의 범주에서의 Tor 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 벡터 공간이며, 모든 벡터 공간은 사영 가군이다. 즉, 벡터 공간 V의 사영 분해는 자명하다.

0\to P_0=V\to V\to0

따라서, K 위의 벡터 공간 V, W가 주어졌을 때, Tor 함자는 다음과 같다.

\operatorname{Tor}_0^K(V,W)=V\otimes_KW
\operatorname{Tor}_n^K(V,W)=0\qquad\forall n>0

아벨 군[편집]

정수환 \mathbb Z 위의 가군의 범주에서의 Tor 함자를 생각해 보자. 정수환 위의 가군은 아벨 군이며, 사영 가군자유 아벨 군이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군 G자유 아벨 군 P_0몫군 P_0/P_1으로 나타낼 수 있으며, 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다.

0\to G\to P^0\to P^1\to0

아벨 군 G, H가 주어졌을 때, Tor 함자는 다음과 같다. G의 사영 분해가

0\to P^1\xrightarrow{\iota}P_0\to G\to0

이라면, Tor 함자는 다음 사슬 복합체호몰로지 군이다.

0\to P_1\otimes_{\mathbb Z} H \xrightarrow{\iota\otimes_{\mathbb Z}\operatorname{id}} P_0\otimes_{\mathbb Z}H\to0

따라서,

\operatorname{Tor}_0^{\mathbb Z}(G,H)\cong G\otimes_{\mathbb Z}H

이며,

\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(G,H)\cong\ker(\iota\otimes_{\mathbb Z}\operatorname{id})

이다. 특히,

\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(\mathbb Z,H)=0
\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(0,H)=H
\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(\mathbb Z/(n),H)=\operatorname{Tors}_n(H)=\{h\in H\colon nh=0\}

이다. 보다 일반적으로, Tor 함자는 직합을 보존하므로,

\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}\left(\bigoplus_i\mathbb Z/(n_i),H\right)=\bigoplus_i\operatorname{Tors}_{n_i}(H)

가 된다. 또한,

\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(\mathbb Q/\mathbb Z,H)=\operatorname{Tors}(H)=\{h\in H\colon\exists n\in\mathbb Z^+\colon nh=0\}

이므로 H꼬임 부분군이 된다.

\operatorname{Tor}_0^{\mathbb Z}(G,H)=G\otimes H
G\backslash H \mathbb Z \mathbb Z/(n) \mathbb Q
\mathbb Z \mathbb Z \mathbb Z/(n) \mathbb Q
\mathbb Z/(m) \mathbb Z/(m) \mathbb Z/(\gcd\{m,n\}) 0
\mathbb Q \mathbb Q 0 \mathbb Q
\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(G,H)
G\backslash H \mathbb Z \mathbb Z/(n) \mathbb Q
\mathbb Z 0 0 0
\mathbb Z/(m) 0 \mathbb Z/(\gcd\{m,n\}) 0
\mathbb Q 0 0 0

어원[편집]

‘Tor’는 영어: torsion 토전[*](꼬임 부분군)의 약자다. 이는 Tor 함자가 아벨 군꼬임 부분군과 관련있기 때문이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]