Tor 함자

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호몰로지 대수학에서, Tor 함자(Tor函子, 영어: Tor functor)는 가군 텐서곱 함자유도 함자다.

어원[편집]

‘Tor’는 영어: torsion 토전[*](꼬임 부분군)의 약자다. 이는 Tor 함자가 아벨 군꼬임 부분군과 관련있기 때문이다.

정의[편집]

R이 (단위원을 가진) 이고, _R{}\operatorname{Mod}R에 대한 좌가군(left module)들의 범주, \operatorname{Mod}_RR에 대한 우가군(right module)들의 범주라고 하자. 이 범주들은 아벨 범주를 이룬다.

우가군 A\in\operatorname{Mod}_R와 좌가군 B\in{}_R\operatorname{Mod}텐서곱을 취하여 아벨 군 A\otimes_RB\in\operatorname{Ab}를 취할 수 있다. 이 텐서곱 연산 \otimes_R\colon\operatorname{Mod}_R\times{}_R\operatorname{Mod}\to\operatorname{Ab}쌍함자(bifunctor)를 이룬다. 여기서 \operatorname{Ab}아벨 군들의 범주다.

A\otimes_R\colon{}_R\operatorname{Mod}\to\operatorname{Ab}우완전 함자(right-exact functor)이며, 따라서 그 좌유도 함자(left-derived functor) L^i(A\otimes)를 취할 수 있다. 마찬가지로, \otimes_RB\colon\operatorname{Mod}_R\to\operatorname{Ab} 또한 우완전 함자이며, 따라서 좌유도 함자 L^i(\otimes_RB)를 취할 수 있다. 이 둘은 사실 같은 쌍함자를 이룬다. 즉,

L^i(A\otimes_R)B=A(L^i\otimes_RB)=\operatorname{Tor}^R_i(A,B)

이다. 이 쌍함자 \operatorname{Tor}^R_i\colon\operatorname{Mod}_R\times{}_R\operatorname{Mod}\to\operatorname{Ab}Tor 함자라고 한다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]