합성열

추상대수학에서 합성열(合成列, 영어: composition series)은 군이나 가군을 보다 단순한 부분들로 분해하는 방법 중 하나이다. 합성열은 존재하지 않을 수도 있고, 존재한다 해도 유일하지 않을 수 있다. 그러나 카미유 조르당과 오토 횔더의 이름을 딴 조르당-횔더 정리(영어: Jordan–Hölder theorem)에 따르면 합성열에 나타나는 몫군이나 몫가군들의 동형류와 각각의 동형류가 나타나는 횟수는 유일하게 결정된다. 단, 합성열 안에서 각 동형류가 나타나는 순서는 달라질 수 있다. 이는 슈라이어 정리를 통해 보일 수 있다. 조르당-횔더 정리는 초한 오름차순 합성열에 대해서도 성립하지만, 초한 내림차순 합성열에 대해서는 성립하지 않는다. (Birkhoff 1934)

합성열과 비슷한 개념으로 주합성열(영어: principal series, chief series)이 있다. 합성열은 극대 부분정규열인 데 비해, 주합성열은 극대 정규열이다. (모든 정규열은 부분정규열이지만, 주합성열이 합성열일 필요는 없다.) 작용소군의 개념을 사용하면 군과 가군의 합성열 및 군의 주합성열을 통일되게 기술할 수 있다.

정의

작용소군

모노이드 $\Omega$ 위의 작용소군 $_{\Omega }G$의 부분정규열(영어: subnormal series)은 다음 두 조건을 만족시키는, $G$의 부분 작용소군들의 열

$1=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft G_{2}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{n}=G$

이다.

• 모든 $G_{i}$는 $G_{i+1}$의 부분 작용소군이다.
• 모든 $G_{i}$는 $G_{i+1}$의 정규 부분군이다 ($G_{i}\vartriangleleft G_{i+1}$).

부분정규열에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분정규열을 합성열이라고 한다.

• 몫 작용소군 $G_{i+1}/G_{i}$들은 단순 작용소군(=자명군과 스스로를 제외한 정규 부분 작용소군이 없는 비자명 작용소군)이다. 이 몫군들을 합성인자(영어: composition factor)라고 부른다.
• 모든 $i$에 대하여, $G_{i}\neq G_{i+1}$이며, $G_{i}\vartriangleleft H\vartriangleleft G_{i+1}$인 부분 작용소군 $H\neq G_{i},G_{i+1}$가 존재하지 않는다.
• 모든 $G_{i}$는 $G_{i+1}$의 극대 정규 부분 작용소군이다.

즉, 합성열은 더 큰 부분정규열의 일부가 아닌 부분정규열이다.

군

군 $G$ 위에는 다음과 같은 두 작용소군 구조를 부여할 수 있다.

• 자명 모노이드 $\Omega =1$의 자명한 작용. 이 작용소군 구조에 대한 부분정규열과 합성열은 군 $G$의 부분정규열과 합성열이다.
• 내부 자기 동형군 $\Omega =\operatorname {Inn} (G)$의 작용. 이 작용소군의 부분정규열을 군 $G$의 정규열(영어: normal series)이라고 하며, 이 작용소군의 합성열을 군 $G$의 주합성열이라고 한다.

즉, 군 $G$의 부분군의 열

$1=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft G_{2}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{n}=G$

에 대하여,

• 만약 모든 $G_{i}$가 $G_{i+1}$의 정규 부분군이라면, 이 부분군의 열을 부분정규열이라고 한다.
• 만약 부분정규열이며, 몫군 $G_{i+1}/G_{i}$들이 단순군이라면 (즉, $G_{i}\neq G_{i+1}$이며, $G_{i}$를 포함하는 $G_{i+1}$의 정규 부분군이 $G_{i}$와 $G_{i+1}$밖에 없다면), 이 부분군의 열을 합성열이라고 한다.
• 만약 모든 $G_{i}$가 $G$의 정규 부분군이라면, 이 부분군의 열을 정규열이라고 한다.
• 만약 정규열이며, 몫군 $G_{i+1}/G_{i}$들이 $G/G_{i}$의 극소 정규 부분군이라면 (즉, $G_{i}\neq G_{i+1}$이며, $G_{i}$와 $G_{i+1}$ 사이에 $G$의 정규 부분군이 $G_{i}$와 $G_{i+1}$밖에 없다면), 이 부분군의 열을 주합성열이라고 한다. 따라서, 주합성열은 더 큰 정규열에 포함되지 않는 정규열이다.

아벨 군의 경우, 모든 부분군이 정규 부분군이므로, 부분정규열과 정규열의 개념이 일치하며, 합성열과 주합성열 역시 같은 개념이다.

가군

왼쪽 가군은 그 환의 작용을 갖춘 작용소군으로 여길 수 있다. 이 경우, 부분 작용소군·정규 부분 작용소군·부분 가군의 개념이 일치한다. 따라서, 환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R}M$의 부분정규열은 단순히 부분 가군의 열

$0=M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \cdots \subset M_{n}=M$

이며, 모든 몫가군 $M_{i+1}/M_{i}$가 단순 가군일 때 이 열은 합성열이다.

성질

존재

임의의 모노이드 $\Omega$ 및 $\Omega$-작용소군 $_{\Omega }G$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $G$는 합성열을 갖는다.
• $G$의 부분정규 부분 작용소군의 (포함 관계에 의한) 부분 순서 집합은 오름 사슬 조건과 내림 사슬 조건을 만족한다.
• 다음 두 조건이 성립한다.
  • 임의의 $G$의 부분 작용소군의 열 $G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \cdots$에 대하여, 만약 모든 $G_{i}$가 $G_{i+1}$의 정규 부분군이라면, $G_{n}=G_{n+1}=G_{n+2}=\cdots$인 $n\in \mathbb {N}$이 존재한다.
  • 임의의 $G$의 부분 작용소군의 열 $G_{0}\vartriangleright G_{1}\vartriangleright \cdots$에 대하여, 만약 모든 $G_{i}$가 $G_{i-1}$의 정규 부분군이라면, $G_{n}=G_{n+1}=G_{n+2}=\cdots$인 $n\in \mathbb {N}$이 존재한다.

특히, 모든 유한군은 합성열을 갖는다. 무한군은 합성열을 갖지 않을 수 있다. 예컨대 $\mathbb {Z}$는 합성열이 없다.

유일성

조르당-횔더 정리에 따르면, 임의의 작용소군의 두 합성열은 ‘동형’이다. 즉, 모노이드 $\Omega$ 및 $\Omega$-작용소군 $_{\Omega }G$ 및 $G$의 두 합성열

$1=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{m}=G$

$1=H_{0}\vartriangleleft H_{1}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft H_{n}=G$

이 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

• $m=n$
• 모든 $i$에 대하여 $G_{i}$와 $H_{\sigma (i)}$가 동형이 되는 $\{1,\dots ,n\}$의 순열 $\sigma$가 존재한다.

증명 (조르당-횔더 정리):

슈라이어 정리에 의해 두 합성열은 동형인 세분을 갖는다. 그러나 합성열의 몫군은 모두 단순 작용소군이므로 어떠한 합성열도 더 이상의 세분을 갖지 않는다. 따라서 임의의 두 합성열은 동형이다.

참고 문헌

• Birkhoff, Garrett (1934), “Transfinite subgroup series”, 《Bulletin of the American Mathematical Society》 40 (12): 847–850, doi:10.1090/S0002-9904-1934-05982-2 
• Baumslag, Benjamin (2006), “A simple way of proving the Jordan-Hölder-Schreier theorem”, 《American Mathematical Monthly》 113 (10): 933–935, doi:10.2307/27642092 
• Bourbaki, N. (1974), 《Algebra》, Hermann, Paris; Addison-Wesley Publishing Co., Reading Mass. 
• Isaacs, I. Martin (1994), 《Algebra: A Graduate Course》, Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-19002-6 
• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006), 《Categories and sheaves》