작용소군

추상대수학에서 작용소군(作用素群, 영어: operator group)은 어떤 모노이드의 작용을 갖춘 군이다. 군과 가군의 공통적인 일반화이다.

정의

작용소군 $(G,\Omega ,\phi )$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.^:151

• $G$는 군이다.
• $\Omega$는 모노이드이다. 이 모노이드의 원소를 작용소(영어: operator)라고 한다.
• $\phi \colon \Omega \to \operatorname {End} (G)$는 모노이드의 준동형이다.

일부 저자들은 $\Omega$가 반군(즉, 단위원을 가지지 않을 수 있음)일 경우를 허용하기도 한다. 이 경우, 자명하게 항등원을 추가할 수 있으므로 사실상 같은 개념을 얻는다.

작용소 모노이드가 $\Omega$인 작용소군을 $\Omega$-작용소군(영어: $\Omega$-group)이라고 한다. 주어진 $\Omega$에 대하여, $\Omega$-작용소군들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. $\Omega$-작용소군에서, $\Omega$의 구조를 보존시키는 부분군을 허용 가능 부분군(영어: admissible subgroup)이라고 한다.^:151

예

작용소군의 대표적인 예로는 다음이 있다.

군	작용소 집합 $\Omega$	작용	허용 가능 부분군
$G$	한원소 집합 $\{\bullet \}$	항등 함수	(임의의) 부분군
$G$	$G$	$g\colon h\mapsto ghg^{-1}$	정규 부분군
$G$	자기 동형군 $\operatorname {Aut} G$	자기 사상의 작용	특성 부분군(영어: characteristic subgroup)
$G$	자기 준동형 모노이드 $\operatorname {End} G$	자기 사상의 작용	완전 불변 부분군(영어: fully invariant subgroup)
$R$ 위의 왼쪽 가군 $M$	환의 곱셈 모노이드 $(R,\cdot )$	가군 작용	부분 가군

응용

조르당-횔더 정리는 적어도 하나의 합성열을 갖는 작용소군에 대하여 성립한다. 이를 통해, 군에 대한 조르당-횔더 정리와 가군에 대한 조르당-횔더 정리를 공통적으로 일반화할 수 있다.

외부 링크

• “Operator group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.