여과 (수학)

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어떤 대수적 구조 $S$ 내에 완전순서집합인 첨수집합 $I$를 갖는 첨수된 집합족 $S_{i}$가 존재하며 모든 $i,j\in I$에 대하여 $i\le j$일 때 $S_{i}\subset S_{j}$일 경우 이 $S_{i}$를 여과(filtration)라고 한다.

측도이론과 여과

여과는 측도이론, 특히 마팅게일을 비롯한 확률과정을 구체화하기 위해 측도가능한 공간 내에서 단조증가하는 시그마-대수를 정의하는 데 쓰인다. 이렇게 사용되는 여과에서 첨수 $i$는 주로 시간을 의미하며 $t$로 표기하는 경우가 많다. 측도공간 $(\Omega,\mathcal{F})$에 대한 여과 $\mathcal{F}_{t}$는 다음 두 조건을 만족하는 시그마-대수열(sequence of $\sigma$-algebras) $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\ge0}$를 뜻한다.

• $\mathcal{F}_{t} \subseteq \mathcal{F}$
• $t_{1} \leq t_{2} \implies \mathcal{F}_{t_{1}} \subseteq \mathcal{F}_{t_{2}}$

여기서 $t$가 나타내는 '시간'이라는 개념은 경우에 따라 다양하게 해석할 수 있으며 이산시간 또는 연속시간, 유한시간 또는 무한시간 등을 적용할 수 있다. 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$t \in \{ 0, 1, \dots, N \}, \mathbb{N}_{0}, [0, T] \mbox{ or } [0, + \infty).$

여과확률공간

여과확률공간(filtered probability space)이란 시그마-대수에 대한 여과가 존재하는 확률공간을 뜻하며, 금융공학에서 가격의 움직임을 모형화하는 데 중요하게 쓰인다. 이 경우 $\mathcal{F}_{t}$는 시점 $t$에 시장에 공개된 정보의 양을 나타내며, 따라서 여과를 통해 가격을 $\mathcal{F}_{t}$-마팅게일로 만듬으로써 완전시장을 모형화할 수 있다.