마팅게일

마팅게일(영어: martingale 마턴게일^[*], 프랑스어: martingale 마르탱갈^[*])은 확률 과정의 하나로, 과거의 모든 정보를 알고 있다면 미래의 기대값이 현재 값과 동일한 과정이다.

마팅게일의 대표적인 예로는 무작위 행보(random walk)가 있다.

역사

마팅게일은 원래 18세기 프랑스에서 유행하였던 도박 전략의 하나를 일컫는 단어였다. 이 전략은 한 판을 이겼을 때 얻는 금액과 한 판을 졌을 때 잃는 금액이 같고 이길 확률과 질 확률 역시 동일한 형태의 도박을 할 때 사용할 수 있는 전략으로, 졌을 때 다음 판에 이번 판의 두 배에 해당하는 판돈을 걸면 결국 언젠가 이기는 순간 첫 판의 판돈에 해당하는 금액이 최종 수익으로 남게 된다는 점에 착안하여 이에 상응하는 베팅 방식을 고수한다. 만약 도박을 하는 사람의 재산이 무한하다면 거의 확실하게 이기는 순간이 오기 때문에 언젠가는 돈을 딸 수 있지만, 실제로는 재산이 유한하기 때문에 돈을 따기 전에 가진 돈을 잃을 확률이 존재하게 된다.

이 마팅게일 전략은 레비(Lévy, P. P.)에 의해 처음으로 확률론 분야에 도입되었으며, 둡(Doob, J. L.) 역시 마팅게일의 이론적 발전에 크게 기여하였다. 확률론에 마팅게일이 도입된 이유 중의 하나는 마팅게일 전략으로 도박을 통해 수익을 얻는 것이 불가능하다는 것을 증명하고자 하는 데 있었다.

정의

이산시간 마팅게일

모든 첨수(index) $n$에 대해 다음을 만족하는 이산시간(discrete-time) 확률과정 $X_{n}$을 이산시간 마팅게일이라고 한다.

$\mathbb{E} ( \vert X_n \vert )< \infty$

$\mathbb{E} (X_{n+1}\mid X_1,\ldots,X_n)=X_n$

이 경우 미래시점 $t+1$의 $X$의 값 $X_{t+1}$에 대한 현재시점 $t$의 조건부 기대값은 곧 $X$의 현재값 $X_{t}$이다. 두 번째 조건은 다음 조건과 동치이다.

$\mathbb{E} (X_{n+1} - X_n \mid X_1,\ldots,X_n)=0$

즉, 미래 시점과 현재 시점간의 차이의 기대값은 0이 된다.

연속시간 마팅게일

모든 첨수(index) $n$에 대해 다음을 만족하는 연속시간(continuous-time) 확률과정 $Y_{n}$을 연속시간 마팅게일이라고 한다.

$\mathbb{E} ( \vert Y_t \vert )<\infty$

$\mathbb{E} ( Y_{T} \mid \{ Y_{s}, s \leq t \} ) = Y_t, \ \forall t \leq T.$

이 경우 역시 미래시점 $T$의 $X$의 값 $X_{T}$에 대한 현재시점 $t$의 조건부 기대값은 곧 $X$의 현재값 $X_{t}$이다.