마팅게일

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변수가 어떤 상계에 이르면 멈추게 되는 1차원 브라운 운동은 마팅게일의 한 예이다. 이는 돈이 다 떨어지면 파산하게 되는 도박꾼을 나타내는 확률론적 모형이다.

확률론에서, 마팅게일(영어: martingale 마턴게일[*], 프랑스어: martingale 마르탱갈[*])은 확률 과정의 하나로, 과거의 모든 정보를 알고 있다면 미래의 기댓값이 현재 값과 동일한 과정이다.

역사[편집]

마팅게일은 원래 18세기 프랑스에서 유행하였던 도박 전략의 하나를 일컫는 단어였다. 이 전략은 한 판을 이겼을 때 얻는 금액과 한 판을 졌을 때 잃는 금액이 같고 이길 확률과 질 확률 역시 동일한 형태의 도박을 할 때 사용할 수 있는 전략으로, 졌을 때 다음 판에 이번 판의 두 배에 해당하는 판돈을 걸면 결국 언젠가 이기는 순간 첫 판의 판돈에 해당하는 금액이 최종 수익으로 남게 된다는 점에 착안하여 이에 상응하는 베팅 방식을 고수한다. 만약 도박을 하는 사람의 재산이 무한하다면 거의 확실하게 이기는 순간이 오기 때문에 언젠가는 돈을 딸 수 있지만, 실제로는 재산이 유한하기 때문에 돈을 따기 전에 가진 돈을 잃을 확률이 존재하게 된다.

폴 피에르 레비(프랑스어: Paul Pierre Lévy)가 처음으로 확률론 분야에 이 마팅게일 전략을 도입하였으며, 조지프 리오 두브(영어: Joseph Leo Doob) 역시 마팅게일의 이론적 발전에 크게 기여하였다. 확률론에 마팅게일이 도입된 이유 중의 하나는 마팅게일 전략으로 도박을 통해 수익을 얻는 것이 불가능하다는 것을 증명하고자 하는 데 있었다.

정의[편집]

이산 시간 마팅게일[편집]

확률공간 P가 주어졌다고 하자. 마팅게일(영어: discrete-time martingale)은 다음 두 조건을 만족시키는 일련의 확률변수 X_n\colon P\to\mathbb R\;(n\in\mathbb N)이다. 모든 n\in\mathbb N에 대하여,

  • (적분가능성) \operatorname E( \vert X_n \vert )< \infty
  • (마팅게일 성질) \operatorname E (X_{n+1}\mid X_1,\ldots,X_n)=X_n

이 경우 미래시점 t+1X의 값 X_{t+1}에 대한 현재시점 t의 조건부 기댓값은 곧 X의 현재값 X_{t}이다. 두 번째 조건은 다음 조건과 동치이다.

\operatorname E(X_{n+1} - X_n \mid X_1,\ldots,X_n)=0

즉, 미래 시점과 현재 시점 간의 차이의 기댓값은 0이다.

연속 시간 마팅게일[편집]

연속 시간 마팅게일(영어: continuous-time martingale)은 다음 두 조건을 만족시키는 연속 시간 확률과정 Y_t\colon P\to\mathbb R\;(t\in\mathbb R)이다. 모든 t\in\mathbb R에 대하여,

  • (적분가능성) \operatorname E( \vert Y_t \vert )<\infty
  • (마팅게일 성질) \operatorname E( Y_T\mid \{ Y_{s}, s \leq t \} ) = Y_t\qquad\forall T\ge t

이 경우 역시 미래 시점 TX의 값 X_{T}에 대한 현재 시점 t조건부 기댓값은 곧 X의 현재값 X_{t}이다.

열마팅게일과 우마팅게일[편집]

이산 시간 열마팅게일(劣martingale, 영어: submartingale)은 다음 조건을 만족시키는 일련의 확률변수 X_n이다.

  • (적분가능성) \operatorname E( \vert X_n \vert )< \infty
  • (열마팅게일 성질) \operatorname E(X_{n+1}\mid X_1,\ldots,X_n)\ge X_n

이산 시간 우마팅게일(優martingale, 영어: supermartingale)은 다음 조건을 만족시키는 일련의 확률변수 X_n이다.

  • (적분가능성) \operatorname E( \vert X_n \vert )< \infty
  • (우마팅게일 성질) \operatorname E(X_{n+1}\mid X_1,\ldots,X_n)\le X_n

마찬가지로, 연속 시간 열·우마팅게일도 정의할 수 있다.

[편집]

마팅게일의 대표적인 예로는 무작위 행보(random walk)가 있다.

참고 문헌[편집]

  • (영어) Williams, David (1991년). 《Probability with martingales》. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40605-6

바깥 고리[편집]