위상 K이론

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

대수적 위상수학에서, 위상 K이론(topological K-theory)은 위상공간 위의 벡터다발을 연구하는 분야이다.[1] 보다 일반적인 K이론의 특수한 경우다.

역사[편집]

마이클 아티야프리드리히 히르체브루흐가 1950년대 말에 창시하였다.[2]

정의[편집]

K0[편집]

X콤팩트 하우스도르프 공간이고, k실수체 또는 복소수체라고 하자. XK군(K-group) K^0(X)X 위의 k-벡터다발들의 그로텐디크 군이다. 보통 실수 K군은 K_{\mathbb R}^0(X)=KO^0(X) , 복소 K군은 K_{\mathbb C}^0(X)=KU^0(X)라고 쓴다. 여기서 O, U는 직교군(orthogonal group)과 유니터리 군(unitary group)의 이름의 약자이다. K군은 그로텐디크 군이므로 아벨 군이다. 또한, 벡터다발텐서곱을 통하여 K군은 (곱셈 단위원을 가진) 가환환을 이룬다.

이제부터는 첨자 k를 암묵적으로 생략한다.

축소 K군[편집]

(X,x_0)점을 가진 공간이라고 하자. 그렇다면 축소 K군(reduced K-group) \tilde K^0(X,x_0)는 다음과 같다. 다음과 같은 준동형사상이 존재한다.

\phi\colon K^0(X)\to K^0(\{x_0\})

그렇다면

\tilde K^0(X,x_0)=\ker\phi=K^0(X)/K^0(\{x_0\})

이다.

벡터다발의 차원에 해당하는, 다음과 같은 군 준동형사상이 존재한다.

\dim\colon K^0(X)\to\check H^0(X,\mathbb Z)

여기서 \check H^0(X,\mathbb Z)는 정수 계수를 가지는 체흐 코호몰로지다. 만약 X연결공간이라면 \check H^0(X,\mathbb Z)=\mathbb Z이다. 이 경우 \dim\colon K^0(X)\to\mathbb Z이며, 벡터공간 K_n^0(X)=\dim^{-1}(n)n차원 벡터다발들이 이루는 그로텐디크 군이다.

상대 K군(영어: relative K-group)은 상대 호몰로지와 유사한 개념으로, 다음과 같다. A\subset X가 부분공간이라고 하자. 그렇다면 XA에 대한 상대 K군 K^0(X,A)는 다음과 같다.

K^0(X,A)=\tilde K^0(X/A)

여기서 X/A의 점은 물론 A/A\in X/A이다.

X가 콤팩트하지 않은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 그렇다면, 콤팩트 지지 K군(영어: K-group with compact support) K_{\text{c}}^0(X)는 그 알렉산드로프 축소화 X^+의 축소 K군이다.

K_{\text{c}}^0(X)=\tilde K^0(X^+)

고차 K군[편집]

−n차 축소 K군 K^{-n}(X)는 다음과 같다.

\tilde K^{-n}(X)=\tilde K(S^n\wedge X)

여기서 \wedge는 위상공간의 분쇄곱(smash product)이고, S^nn차원 초구다. 여기서 S^0\wedge X\cong X이므로, \tilde K^0(X)의 정의는 일관적이다. 또한 S^m\wedge S^n\cong S^{m+n}이므로, \tilde K^{-m-n}(X)=\tilde K^{-m}(S^n\wedge X)이다.

−n차 (비축소) K군 K^{-n}(X)는 그 알렉산드로프 콤팩트화 X^+=X\sqcup\{\infty\}의 축소 K군이다.

K^{-n}(X)=\tilde K^{-n}(X^+)

고차 축소 K군들은 주기적이다. 즉, 다음이 성립한다.

  • \tilde KU^{-n-2}(X)=\tilde KU^{-n}(X)
  • \tilde KO^{-n-8}(X)=\tilde KO^{-n}(X).

이를 보트 주기성(Bott periodicity)이라고 한다. 보트 주기성을 사용하여 양의 정수차 K군 K^1, K^2 등을 정의할 수 있다.

성질[편집]

펑터성과 코호몰로지[편집]

연속함수 X\to Y가 주어지면, 이에 따라 선형변환 K_n(Y)\to K_n(X)가 존재한다. 이는 점 갖춘 위상공간의 호모토피 범주에서 아벨 군의 범주로 가는 반변펑터를 이룬다.

보다 일반적으로, 위상 K이론은 코호몰로지에 대한 에일렌베르크-스틴로드 공리들을 차원 공리를 제외하고 모두 만족시킨다. 따라서, 위상 K이론은 특수(extraordinary) 코호몰로지 이론을 이룬다. (차원 공리에 따르면 H^n(\{\bullet0\})=0\forall n>0이어야 하지만, K이론에서는 K^{2n}(\{\bullet0\})=\mathbb Z이다.) 특히, 위상 K이론은 호모토피 불변량이다. 즉, 서로 호모토피 동치인 공간들의 K군들은 동형이다.

분류 공간[편집]

다음이 성립한다.

KU(X)\cong[X,\mathbb Z\times BO_\infty]
KU(X)\cong[X,\mathbb Z\times BU_\infty]

여기서 [X,Y]X\to Y 호모토피류들의 집합이다. 분류 공간 BO_n은 무한차원 실수 벡터 공간에서 원점을 지나는 n차원 부분공간들의 공간(그라스만 공간)이며, 분류 공간BU_n은 무한차원 복소 힐베르트 공간에서 원점을 지나는 복소 n차원 부분공간들의 공간이다.

또한, Xn차원 연결공간이고 k>n/2일 때,

\tilde KO(X)\cong[X,BO_k]
\tilde KU(X)\cong[X,BU_k]

이 성립한다.

천 지표[편집]

천 지표 \operatorname{ch}\colon\operatorname{Vect}(X)\to H^\bullet(X)X 위의 벡터다발들의 모노이드 \operatorname{Vect}(X)로부터 짝수 차수 유리수 코호몰로지 H^0(X)\oplus H^2(X)\oplus\dotsb\subset H^\bullet(X;\mathbb Q)로 가는 모노이드 준동형사상이다.[1]:40–45[3]:100–102 이는 그로텐디크 군 연산을 통해, 다음과 같은 환 준동형사상 \operatorname{ch}\colon K^0(X)\to H^\bullet(X;\mathbb Q)로 확장된다. 즉, [E],[F]\in K^0(X)라고 하면,

\operatorname{ch}([E]\oplus[F])=\operatorname{ch}([E])+\operatorname{ch}([F])
\operatorname{ch}([E]\otimes[F])=\operatorname{ch}([E])\smile\operatorname{ch}([F])
\operatorname{ch}(-[E])=-\operatorname{ch}([E])
\operatorname{ch}([\mathbb C^{\oplus k}])=k

이다. 다시 말해, 천 지표는 K이론에서 코호몰로지로 가는 준동형사상이다. 마찬가지로, 축소 K이론에서 축소 코호몰로지로 가는 준동형사상 \operatorname{ch}\colon\tilde K^0(X)\to\tilde H^\bullet(X;\mathbb Q) 또한 존재한다.

고차 K이론의 경우에도 천 지표를 정의할 수 있다.[3]:102

\tilde K^1(X)=K^0(S^1\wedge X)
\tilde H^{2k}(X;\mathbb Q)\cong H^{2k+1}(S^1\wedge X;\mathbb Q)

이므로, 이를 사용하여 천 지표를

K^\bullet(X)\to H^\bullet(X;\mathbb Q)

로 확장시킬 수 있다. 대부분(유한 CW 복합체)의 경우, 천 지표는 K^\bullet(X)\otimes\mathbb QH^\bullet(X;\mathbb Q) 사이의 동형사상이다. 즉, 다음과 같은 동형사상이 성립한다.[4]:7

K^0(X)\otimes\mathbb Q=\bigoplus_kH^{2k}(X;\mathbb Q)
K^1(X)\otimes\mathbb Q=\bigoplus_kH^{2k+1}(X;\mathbb Q)

마찬가지로, 실수 K군의 경우 다음이 성립한다.[4]:7

KO^0(X)\otimes\mathbb Q=\bigoplus_kH^{4k}(X;\mathbb Q)

[편집]

축약가능공간[편집]

하나의 점을 포함하는 공간 \{\bullet\}의 K군들은 다음과 같다.

K^0(\{\bullet\})=\mathbb Z
\tilde K^0(\{\bullet\})=0
K^1(\{\bullet\})=\tilde K^1(\{\bullet\})=0

K이론은 호모토피 불변량이므로, 모든 콤팩트 하우스도르프 축약가능공간(contractible space)의 K군은 1점 공간 \{\bullet\}의 K군과 같다.

이에 따라, 축소 K군의 경우

K^0(X)\cong\tilde K^0(X)\oplus\mathbb Z
K^1(X)\cong\tilde K^1(X)

임을 알 수 있다.

초구[편집]

초구 S^n의 (비축소) K군들은 다음과 같다.[1]:39

K^0(S^{2n})=\mathbb Z^2
K^1(S^{2n})=0
K^0(S^{2n+1})=\mathbb Z
K^1(S^{2n+1})=\mathbb Z

초구의 축소 K군들은 다음과 같다.

\tilde K^0(S^{2n})=\tilde K^1(S^{2n+1})=\mathbb Z
\tilde K^1(S^{2n})=\tilde K^0(S^{2n+1})=0

기타 공간[편집]

복소사영공간 \mathbb{CP}^n의 K군들은 다음과 같다.

K^0(\mathbb{CP}^n)=\mathbb Z^{n+1}
K^1(\mathbb{CP}^n)=0

원환면 \mathbb T^n의 K군들은 다음과 같다.

K^0(\mathbb T^n)=\mathbb Z^{2^{n-1}}
K^1(\mathbb T^n)=\mathbb Z^{2^{n-1}}

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Zois, Ioannis P. (2010년 8월). 18 lectures on K-Theory. arXiv:1008.1346. Bibcode2010arXiv1008.1346Z.
  2. Otsuka, Shu. Correspondence Atiya ↔ Hirzebruch about K-theory.
  3. (영어) Hatcher, Allen (2009년 5월). 《Vector Bundles and K-Theory》, 버전 2.1
  4. (영어) Karoubi, Max (2006년 2월). K-theory. An elementary introduction. arXiv:math/0602082. Bibcode2006math......2082K.