데자르그의 정리

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데자르그의 정리 도해

데자르그의 정리(Desargues' theorem, -定理)는 기하학정리로, 공간 상에서 임의의 두 삼각형의 위치 관계에 대한 내용을 담고 있다. 프랑스수학자이자 공학자제라르 데자르그(프랑스어: Gerard Desargues)가 증명하였다. 파스칼의 정리 등과 함께 사영기하학의 기초를 이루는 정리이다. 다음과 같은 내용이다.

  • 공간상의 두 임의의 삼각형 ABC와 abc에 대하여, Aa, Bb, Cc를 연장한 직선들이 한 점에서 만날 때(이하 모두 연장한 직선), AB와 ab, BC와 bc, CA와 ca의 교점은 한 직선 위에 놓인다.

사영기하학적으로는 다음과 같이 쓸 수 있다.

  • 두 삼각형이 중심배경(central perspectivity)이면 축배경(axial perspectivity)이다.[1]

이 정리는 일반적인 유클리드 공간이나 유클리드 평면 상에서도 성립하는 정리이나, 그보다 일반적인 사영기하학에서 통상 다루어지는 정리이다. 이 정리의 쌍대 정리는 전혀 다른 정리가 되는 것이 아니라 데자르그 정리 자체의 역이 된다. 즉, 데자르그의 정리는 자기쌍대적(self-dual)이다.

비데자르그 평면[편집]

3차원 이상의 사영공간에서는 데자르그의 정리가 항상 성립한다. 하지만 2차원 사영기하학의 공리는 2차원 데자르그의 정리와 독립적이므로 2차원에서 데자르그의 정리가 성립하지 않는 비데자르그 기하학(Non-Desarguesian geometry)을 구성할 수도 있고, 그러한 사영평면비데자르그 평면(Non-Desarguesian plane)이라 한다. 반대로, 데자르그의 정리가 성립하는 사영평면을 데자르그 평면(Desarguesian plane)이라 한다. 대표적인 예로, 실사영평면은 데자르그 평면이다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. 최대호, 《해석기하학과 사영기하학》, 교우사, 2006, 227쪽.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]