단사 함수

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
(단사함수에서 넘어옴)
이동: 둘러보기, 검색
단사 함수의 예
단사 함수가 아닌 예 (이는 전사 함수이기는 하다).

수학에서, 단사 함수(單射函數, 영어: injection, injective function)는 정의역의 서로 다른 원소를 공역의 서로 다른 원소로 대응시키는 함수이다.

정의[편집]

집합 X, Y 사이의 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 단사 함수라고 한다.

성질[편집]

임의의 함수 f\colon X\to Y, g\colon Y\to Z가 주어졌다고 하자.

  • 만약 fg가 둘 다 단사 함수라면, g\circ f 역시 단사 함수이다.
  • 만약 g\circ f가 단사 함수라면, f 역시 단사 함수이다. 하지만 g가 단사 함수일 필요는 없다.

두 집합 X, Y에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

정의역크기가 0 또는 1인 함수는 항상 단사 함수이다.

[편집]

  • 항등 함수전단사 함수이므로 단사 함수이다.
  • 임의의 집합 X 및 그 부분 집합 Y\subset X에 대하여, 포함 함수 Y\to X는 단사 함수이다.
  • f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} ,\;f(x) = 2x+1 으로 정의된 함수는 단사 함수이다.
  • g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} ,\;g(x)= x^2 으로 정의된 함수는 단사 함수가 아니다. 예를 들어 g(1) = 1 = g(-1)이다.
    • 그러나, 만약 g의 정의역을 음이 아닌 실수[0,+\infty)로 재정의한다면 g는 단사 함수이다.
  • 지수 함수 \exp\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} : x \mapsto \mathrm{e}^x 는 단사함수이다. (하지만 음수에서의 값이 없으므로 전사 함수가 아니다.)
  • 자연로그 함수 \ln \colon (0, +\infty) \to \mathbb{R} : x \mapsto \ln{x} 는 단사 함수이다.
  • g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} , g(x) = x^n - x 으로 정의된 함수는 단사 함수가 아니다.예를 들어, g(0)=g(1)이다.

실수선 위의 실함수 f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}의 경우, 함수의 그래프가 어느 수평선에 대해서도 두 번 이상 가로지르지 않으면 단사 함수이다.

역사[편집]

유럽 언어에서 쓰이는 용어 영어: injection 인젝션[*], 프랑스어: injection 앵젝시옹[*] 등은 라틴어: iniectiō 이니엑티오[*]에서 유래하였으며, 이는 라틴어: in [*](안에) + 라틴어: iaciō 야키오[*](던지다)에서 기원하였다. 이는 수학 용어로는 니콜라 부르바키가 최초로 사용하였다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]