단사함수

단사함수의 예

단사함수가 아닌 예 (이는 전사함수이기는 하다).

일대일 함수, 단사함수(單射函數, injection, 또는 injective function)는 함수의 결과값이 같으면 함수의 인자값도 서로 같은 함수이다. 함수의 인자값이 다르면 함수의 결과값이 다르므로, 다르다는 성질을 보존하는 함수라 할 수 있다.

수학적인 정의는, 임의의 치역의 원소에 대응하는 정의역의 원소가 하나뿐인 함수이다. 수식으로 쓰면, 함수 $f$ 가 단사함수라는 것은 모든 변수 $a,b$ 에 대해 $f(a) = f(b)$ 일 경우 $a = b$ 가 성립하는 것이다. 또한, 이것의 대우 명제는 $a \neq b$ 일 경우 $f(a) \neq f(b)$ 가 된다.

함수의 인자값 하나에 대해 결과값 하나만을 대응시키므로 일대일 함수라고 부른다 (일대일 대응과는 다름에 주의하자).

성질 [편집]

단사함수의 역함수가 존재하지 않을 수도 있다. n(X)=a, n(Y)=b (단, a≤b, ∵f는 X→Y의 일대일 함수)일 때, 함수의 역함수는 원래 함수의 정의역이 치역으로, 원래 함수의 치역이 정의역으로 바뀌는 함수이므로 Y→X로의 함수가 된다. 그런데 정의역이 된 Y의 원소 중에는 X의 원소에 대응할 수 없는 원소가 생기므로 역함수가 존재하지 않는다. 예를 들어 f(x)=x+1의 일대일 함수에서 X={1,2,3}, Y={2,3,4,5} 이면 일대일함수 f는 성립하지만, 정의역과 치역이 뒤바뀐 역함수로 만들면 2→1, 3→2, 4→3으로 대응되지만 5에 대응되는 함숫값이 없으므로 함수가 되지 않는다.
단사함수와 단사함수의 합성함수는 단사함수이다.
$g \circ f$ 가 단사함수이면, $f$ 도 단사함수이다. 하지만 $g$ 가 단사일 필요는 없다.
단사함수 $f\,:\, X \to Y$ 가 존재할 때 $Y$ 의 기수는 $X$ 의 기수보다 작지 않다. 여기에 $Y$ 에서 $X$ 로의 단사함수가 존재한다면, 두 집합의 기수는 같다. 이것은 칸토어-베른슈타인-슈뢰더 정리로 알려져 있다.

일대일 함수의 예 [편집]

항등함수는 일대일 함수이다.
$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} , f(x) = 2x+1$ 으로 정의된 함수는 일대일 함수이다.
으로 정의된 함수는 일대일 함수가 아니다. 예를 들어 g(1) = 1 = g(-1)이다.
- 그러나, 만약 $g\,$ 의 정의역을 음이 아닌 실수 $[0,+\infty)$ 로 재정의한다면 $g\,$ 는 일대일 함수이다.
지수함수 $\exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R} : x \mapsto \mathrm{e}^x$ 는 단사함수(하지만 음수에서의 값이 없으므로 전사함수가 아니다)이다.
자연로그 함수 $\ln : (0, +\infty) \to \mathbb{R} : x \mapsto \ln{x}$ 는 단사함수이다.
$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} , g(x) = x^n - x$ 으로 정의된 함수는 단사함수가 아니다.예를 들어, $g(0) \,=\, g(1)$ 이다.