완비화 (환론)

환론에서 완비화(完備化, 영어: completion)는 형식적 멱급수를 취하는 연산의 일반화이며, 대략 어떤 양쪽 아이디얼을 형식적 변수처럼 생각하여 이에 대한 형식적 멱급수를 추가하는 연산이다.

정의

(곱셈 항등원을 갖는) 환 $R$와 그 양쪽 아이디얼 ${\mathfrak {a}}\vartriangleleft R$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 몫환들을 정의할 수 있다.

$0=R/R=R/{\mathfrak {a}}^{0}\leftarrow R/{\mathfrak {a}}\leftarrow R/{\mathfrak {a}}^{2}\leftarrow R/{\mathfrak {a}}^{3}\leftarrow \cdots$

$R$의, ${\mathfrak {a}}$에 대한 완비화 ${\hat {R}}_{\mathfrak {a}}$는 이 몫환들의 (환의 범주 $\operatorname {Ring}$에서의) 극한이다.^:319 (만약 $R$가 가환환이라면, 이는 가환환의 범주 $\operatorname {CRing}$에서 생각하여도 좋다. 이는 $\operatorname {CRing}$이 $\operatorname {Ring}$의 반사 부분 범주이기 때문이다.) 구체적으로, 이는 다음과 같다.

${\hat {R}}_{\mathfrak {a}}=\left\{(r_{0},r_{1},r_{2},\dots )\in \prod _{i=0}^{\infty }R/{\mathfrak {a}}^{i}\colon r_{i}\equiv r_{i+1}\mod {\mathfrak {a}}^{i}\quad \forall i\in \mathbb {N} \right\}$

이에 대하여 자연스러운 환 준동형

$R\to {\hat {R}}_{\mathfrak {a}}$

$r\mapsto (r+R,r+{\mathfrak {a}},r+{\mathfrak {a}}^{2},\dots )$

가 존재한다.

만약 표준적 환 준동형 $R\to {\hat {R}}_{\mathfrak {a}}$가 동형 사상이라면, $R$가 ${\mathfrak {a}}$-완비환(영어: ${\mathfrak {a}}$-adically complete ring)이라고 한다.

성질

양쪽 아이디얼 ${\mathfrak {a}}$에 대한 ${\mathfrak {a}}$-완비환 $R$에 대하여, 다음이 성립한다.

• ${\mathfrak {a}}\subseteq \operatorname {rad} R$^{:320, Remark 21.30}
• $R/\operatorname {rad} R$의 임의의 멱등원 ${\bar {e}}\in R/\operatorname {rad} R$에 대하여, $e+\operatorname {rad} R={\bar {e}}$가 되는 $R$의 멱등원 $e\in R$가 존재한다.^{:320, Theorem 21.30}

예

정수환 $\mathbb {Z}$를 0이 아닌 소 아이디얼 $(p)$에서 완비화하면 $p$진 정수환 $\mathbb {Z} _{p}$를 얻는다.

체 $K$에 대한 다항식환 $K[x_{1},\dots ,x_{n}]$을 극대 아이디얼 $(x_{1},\dots ,x_{n})$에서 완비화하면 형식적 거듭제곱 급수환 $K[[x_{1},\dots ,x_{n}]]$을 얻는다.

참고 문헌

• Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 150. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94268-8. MR 1322960. 

외부 링크

• “Separable completion of a ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Completion of a ring”. 《nLab》 (영어).