마이어-피토리스 열

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대수적 위상수학에서, 마이어-피토리스 열(영어: Mayer–Vietoris sequence)는 어떤 위상공간을 두 열린 부분공간으로 나눈 경우, 그 호몰로지 군들에 대한 긴 완전열이다. 공간의 호몰로지를 더 단순한 부분공간들로 쪼개어 계산하는 데 쓰인다. 대수적 위상수학에서 가장 핵심적인 도구 가운데 하나다.

정의[편집]

위상공간 X의 두 부분집합 A,B\subset X들의 내부 \operatorname{int}(A),\operatorname{int}(B)\subset XX열린 덮개를 이룬다고 하자. 즉,

\operatorname{int}(A)\cup\operatorname{int}(B)=X

라고 하자. 이 사이에 포함 사상들을 다음과 같이 적자.

i\colon A\cap B\hookrightarrow A
j\colon A\cap B\hookrightarrow B
k\colon A\hookrightarrow X
l\colon B\hookrightarrow X

이에 따라서 다음과 같은 호몰로지 군 사이의 군 준동형사상을 유도할 수 있다.

i_*\colon H_n(A\cap B)\to H_n(A)
j_*\colon H_n(A\cap B)\to H_n(B)
k_*\colon H_n(A)\to H_n(X)
l_*\colon H_n(B)\to H_n(X)

또한, 다음과 같은 군 준동형사상을 생각하자. 임의의 닫힌 n특이 호몰로지 사슬 x\in C_n(X)A에 속한 사슬과 B에 속한 사슬로 분해할 수 있다. (이러한 분해는 물론 유일하지 않다.)

x=u+v (u\in C_n(A), v\in C_n(B)
\partial u=-\partial v\in C_{n-1}(A\cap B)

그렇다면 군 준동형사상 \partial_*\colon H_n(X)\to H_n(A\cap B)을 다음과 같이 정의할 수 있다.

\partial_*\colon [x]\mapsto[\partial u]=-[\partial v]\in H_n(A\cap B)
Mayer Vietoris sequence boundary map on torus.png

그렇다면, 다음과 같은 특이 호몰로지 사슬 복합체에 대한 짧은 완전열이 존재한다.

0\to C_\bullet(A\cap B)\xrightarrow{(i_*,j_*)}C_\bullet(A)\oplus C_\bullet(B)\xrightarrow{k_*-l_*}C_\bullet(X)\to0

짧은 완전열지그재그 보조정리를 적용해, 다음과 같은 긴 완전열이 존재함을 알 수 있다. 이 완전열을 마이어-피토리스 열이라고 한다.

\cdots\to H_{n+1}(X)\xrightarrow{\partial_*}\,H_{n}(A\cap B)\xrightarrow{(i_*,j_*)}H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\xrightarrow{k_* - l_*}H_{n}(X)\xrightarrow{\partial_*}H_{n-1} (A\cap B)\to\cdots\to H_0(A)\oplus H_0(B)\xrightarrow{k_* - l_*}H_0(X)\to0

축소 호몰로지(reduced homology) \tilde H_n(X)=H_n(X)/H_n(\{\bullet\})에 대해서도 비슷한 긴 완전열이 존재한다.

역사[편집]

오스트리아의 수학자 발터 마이어(독일어: Walther Mayer)와 레오폴트 피토리스(독일어: Leopold Vietoris)가 도입하였다. 마이어는 1926~1927년 동료 수학자 피토리스의 위상수학 강의를 듣게 되었다. 이 강의에서 피토리스는 오늘날 마이어-피토리스 수열이라고 불리는 관계에 대한 가설을 세웠다. 그때까지 위상수학에 대하여 전혀 몰랐던 마이어는 피토리스의 강의를 듣고 곧 1929년에 가설을 호몰로지의 베티 수에 대하여 증명하였다.[1] 이듬해 (1930년) 피토리스는 베티 수뿐만 아니라 호몰로지 군 자체에 대한 마이어-피토리스 수열의 존재를 증명하였다.[2] 이후 사무엘 에일렌베르크노먼 스틴로드(Norman Steenrod)가 완전열의 개념을 도입하면서, 마이어와 피토리스의 준동형사상들이 완전열을 이룸을 지적하였다.

참고 문헌[편집]

  1. (독일어) Mayer, Walther (1929년). Über abstrakte Topologie. 《Monatshefte für Mathematik》 36 (1): 1–42. doi:10.1007/BF02307601. ISSN 0026-9255.
  2. (독일어) Vietoris, Leopold (1930년). Über die Homologiegruppen der Vereinigung zweier Komplexe. 《Monatshefte für Mathematik》 37: 159–62. doi:10.1007/BF01696765. ISSN 0026-9255.

바깥 고리[편집]