호프 올뭉치

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호프 올뭉치의 형상화. 왼쪽 위에는 3차원 구(를 3차원 공간에 사영한 모습), 오른쪽 아래에는 2차원 구이다. 다발 구조를 보이기 위하여 2차원 구의 일부분과 이에 대응하는 올들을 색깔로 표시하였다.

위상수학에서, 호프 올뭉치(영어: Hopf fibration)는 가 다른 차원의 구 위의 올다발을 이루는 현상이다. 가장 대표적인 경우는 3차원 구가 2차원 구 위에 다발을 이루는 경우며, 유사하게 7차원 구가 4차원 구 위에, 15차원 구가 8차원 구 위에 올다발을 이룬다.

정의[편집]

X가 노름을 가진 나눗셈 대수(즉, 실수, 복소수, 사원수, 또는 팔원수 대수 가운데 하나)라고 하고, \dim X=n이라고 하자. 즉, n=1,2,4,8이다. 다음과 같이 구

\mathbb S^{2n-1}=\{(x_1,x_2)|1=|x_1|^2+|x_2|^2;x_1,x_2\in X\}\subset X^2

를 생각하자. 이 구에 다음과 같은 동치관계를 주자.

(x_1,x_2)\sim(\lambda x_1,\lambda x_2) (\lambda\in X, |\lambda|=1)

이렇게 하면

\mathbb S^n\cong\mathbb S^{2n-1}/\sim

을 얻는다. 즉, \mathbb S^{2n-1}\mathbb S^n 위에 올다발을 이루며, 그 올은 \mathbb S^{n-1}인 것을 알 수 있다. 이를 호프 올뭉치라고 한다. 이에 따라, 다음과 같은 호프 올뭉치들을 얻는다.

\mathbb S^0\hookrightarrow\mathbb S^1\twoheadrightarrow\mathbb S^1 (실수)
\mathbb S^1\hookrightarrow\mathbb S^3\twoheadrightarrow\mathbb S^2 (복소수)
\mathbb S^3\hookrightarrow\mathbb S^7\twoheadrightarrow\mathbb S^4 (사원수)
\mathbb S^7\hookrightarrow\mathbb S^{15}\twoheadrightarrow\mathbb S^8 (팔원수)

역사[편집]

하인츠 호프가 1931년 발견하였다.[1][2]

응용[편집]

물리학, 특히 양자역학에 등장한다.[3] 자기 홀극전자기 퍼텐셜은 호프 올뭉치를 이룬다.[4]

참고 문헌[편집]

  1. (독일어) Hopf, Heinz (1931년). Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche. 《Mathematische Annalen》 104 (1): 637–665. doi:10.1007/BF01457962. Zbl 0001.40703. JFM 57.0725.01.
  2. (독일어) Hopf, Heinz (1935년). Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension. 《Fundamenta Mathematicae》 25: 427–440. Zbl 0012.31902.
  3. (영어) Mosseri, R., R. Dandoloff (2001년). Geometry of entangled states, Bloch spheres and Hopf fibrations. 《Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical》 34 (47): 10243–10252. doi:10.1088/0305-4470/34/47/324. arXiv:quant-ph/0108137. Bibcode2001JPhA...3410243M.
  4. (영어) Urbantke, H.K. (2003년). The Hopf fibration — seven times in physics. 《Journal of Geometry and Physics》 46 (2): 125–150. doi:10.1016/S0393-0440(02)00121-3. Bibcode2003JGP....46..125U.