부분공간 위상

위상수학에서, 부분공간 위상(subspace topology)이란 위상공간 X 의 위상으로부터 자연스럽게 유도되는 X 의 부분집합의 위상을 말한다. 그리고 이 위상을 갖는 X 의 부분집합을 부분공간(subspace)라 한다.

정의 [편집]

X 가 T 를 위상으로 갖는 위상공간이라 하자. 이 때, X 의 임의의 부분집합 Y 에 대해 다음과 같이 정의된 모임

$T_Y = \{ Y \cap U | U \in T \}$

는 Y 의 위상이 되며 이러한 위상을 부분공간 위상이라 한다. 그리고 이 위상을 갖는 부분집합 (Y, T_Y) 를 부분공간이라 한다. 보통 위상공간의 부분집합을 말할 때, 특별한 말이 없는 경우 부분공간 위상을 갖는 것으로 간주한다.

전체 위상공간 X 의 위상 T 에 대한 기저 B 가 주어지면 부분공간의 위상에 대한 기저 도 자연스럽게 얻어진다. 부분공간 위상의 정의와 마찬가지로 아래의 모임

$B_Y = \{ b \cap Y | b \in B \}$

은 부분공간 위상의 기저가 된다.

여기서, R 은 표준위상을 갖는 실수를 말한다.

실수 R의 부분공간으로서의 자연수 N 의 부분공간 위상은 N 의 이산 위상이다.
실수 R의 부분공간으로서의 유리수 Q 의 부분공간 위상은 이산 위상이 아니다. (∵ 0 이 열린 집합이 아니다.)
실수 R의 부분공간으로서의 폐구간 [0,1] 은 부분공간 위상에선 열리고 닫힌 집합이지만, 실수 전체에서 보면 열린 집합은 아니지만 닫힌 집합이다.
실수 R의 부분공간으로서의 $[0,1]\cup[2,3]$ 은 서로 만나지 않는 두 열린 집합의 합집합이므로 비연결공간이다.
실수 R의 부분공간으로서의 S = [0,1) 에서 [0,½) 는 열린 집합이지만, 실수 전체에선 열린 집합이 아니다. 마찬가지로, [½, 1) 는 S 에서 닫힌 집합이지만 실수 전체에선 닫힌 집합이 아니다. S 자체는 S 에서 열린 집합이고 닫힌 집합이지만, 실수 전체에선 열린 집합도 아니고 닫힌 집합도 아니다.