닫힘 (수학)

닫힘(closure, 폐포, 닫힘체) $C(X)$는 어떤 대상 $X$에 대하여, $X$를 부분집합으로 포함하면서 일정한 특성을 가진, 가장 작은 대상(object)으로 정의된다. 어떤 대상이 자신의 닫힘과 같으면 그 집합은 닫힌 집합이다. 다시 말해 어떤 집합 $A$의 닫힘 $\bar A$가 $\bar A = A$이면, $A$는 닫힌 집합이다.

예

• 위상수학 및 관련 분과에서, 한 집합의 위상학적 닫힘.
• 대수학에서, 한 이항연산 아래서 어떤 집합 $S$의 닫힘체는 $S$를 포함하면서 그 이항연산에 대해 닫혀 있는, 가장 작은 집합 $C(S)$이다. 말하자면, 집합 $A$가 연산 $*$에 대해 닫혀 있다는 것의 의미는 $A$의 임의의 원소 $a, b$에 대해여 $a*b$ 역시 $A$의 원소가 된다는 뜻이다. 예를 들어, 모든 양수의 집합은 뺄셈에 대해 닫혀 있지 않다. 왜냐하면, 두 양수의 차이는 경우에 따라 양수가 아닐 수도 있기 때문이다. 모든 양수의 집합은 덧셈에 대해서는 닫혀 있다. 두 양수의 합은 언제나 양수이기 때문이다. 모든 실수의 집합은 뺄셈에 대해 닫혀 있다. 특별히 체의 닫힘체는 대수적 폐포라고 부른다.

해석학에서의 닫힘

해석학에서의 임의의 집합 S ⊂ Rⁿ 닫힘은 S와 도집합 S'의 합집합을 말하며, $\bar{S}$ 또는 cl(S)로 표기한다.