으뜸 아이디얼

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수학가환대수학 등에서 가환환 R의 아이디얼 Q가 다음의 조건을 만족하면 으뜸 아이디얼(primary ideal)이라 한다:

R의 임의의 원소 x,y에 대해 xy ∈ Q이면 x ∈ Q 혹은 적당한 자연수 n에 대해 yn ∈ Q이다.

다르게 말하면, 아이디얼 Q가 으뜸 아이디얼일 필요충분조건몫환 A/Q가 자명환이 아니고 그 안의 모든 영인자멱영원인 것이다. 으뜸 아이디얼은 소 아이디얼을 일반화한 것으로, 모든 소 아이디얼은 으뜸 아이디얼이다. Z에 비유하면 소 아이디얼은 소수로, 으뜸 아이디얼은 소수의 거듭제곱으로 볼 수도 있다.

으뜸 아이디얼의 은 언제나 소 아이디얼이다. 으뜸 아이디얼 Q의 근이 소 아이디얼 P이면, Q를 P-으뜸 아이디얼이라고 한다.

[편집]

R = Z, Q = (125)로 놓자. 만약 xy\in Q인데 x\notin Q라면, 125는 xy를 나누지만 x는 나누지 않는다. 따라서 5가 y를 나눠야 하며, y3은 Q의 원소가 된다. 이에 따라 Q가 으뜸 아이디얼임을 알 수 있다.