으뜸 아이디얼

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가환대수학에서, 으뜸 아이디얼(영어: primary ideal)은 소 아이디얼의 개념의 일반화이다. 이를 통해, 으뜸 분해라는, 소인수 분해의 일반화를 정의할 수 있다.

정의[편집]

가환환 R의 아이디얼 \mathfrak q에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아이디얼을 R으뜸 아이디얼이라고 한다.

  • 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 rs\in\mathfrak q라면 r\in\mathfrak q이거나, s^n\in\mathfrak q인 양의 정수 n\in\mathbb Z^+이 존재한다.
  • 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 rs\in\mathfrak q라면 r\in\mathfrak q이거나, s\in\mathfrak q이거나, 아니면 r,s\in\sqrt{\mathfrak q}이다. 여기서 \sqrt{}아이디얼의 근기이다.
  • R/\mathfrak q의 모든 영인자멱영원이다.

성질[편집]

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아이디얼근기 아이디얼 ∪ 으뜸 아이디얼 ⊇ 근기 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼극대 아이디얼

특히, 소 아이디얼은 으뜸 아이디얼이다. 가환환 R의 전체 아이디얼 (1)=R 역시 으뜸 아이디얼이다.

으뜸 아이디얼의 근기는 항상 소 아이디얼이다. 으뜸 아이디얼 \mathfrak q의 근기가 소 아이디얼 \mathfrak p이면, \mathfrak q\mathfrak p-으뜸 아이디얼(영어: \mathfrak p-primary ideal)이라고 한다. 반대로, 근기가 극대 아이디얼인 아이디얼은 으뜸 아이디얼이다. (그러나 으뜸 아이디얼이 아니지만 근기가 소 아이디얼인 아이디얼이 존재한다.)

[편집]

정수환 \mathbb Z주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼이 주 아이디얼이다. 정수환에서 소 아이디얼은 소수 p로 생성되는 주 아이디얼 (p)이며, 으뜸 아이디얼은 소수의 거듭제곱 p^n (n\in\mathbb Z^+)으로 생성되는 주 아이디얼 (p^n)이다.

근기가 소 아이디얼인 비(非)으뜸 아이디얼[편집]

대수적으로 닫힌 체 K에 대하여, K[x,y,z]/(xy-z^2)를 생각하자. 이 경우,

\mathfrak p=(x,z)

라고 하자. 이는 소 아이디얼이다. 즉, \mathfrak p^2=(x^2,z^2,xz)의 근기 \sqrt{\mathfrak p^2}=\mathfrak p는 소 아이디얼이다. 그러나 \mathfrak p^2는 으뜸 아이디얼이 아니다.

xy=z^2\in\mathfrak p^2

이지만,

x\not\in\mathfrak p^2
y^n\not\in\mathfrak p^2\forall n\in\mathbb Z^+

이기 때문이다. \mathfrak p^2으뜸 분해

\mathfrak p^2=(x)\cap(x^2,xz,y)

이다.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]