계수 (아벨 군)

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추상대수학에서, 아벨 군계수(階數, 영어: rank)는 그 아벨 군의 크기를 나타내는 기수이다. 벡터 공간의 차원을 일반화한 개념이다.

정의[편집]

아벨 군 G일차 독립 부분집합(linearly independent subset) A=\{a_i\}_{i\in I}\subset G는 그 합이 0인 선형결합이 자명한 선형결합밖에 없는 부분집합이다. 즉, n=(n_i)_{i\in I}가 유한개의 성분들만 0이 아닌 |I|개 음이 아닌 정수들의 순서쌍이라고 하면,

\sum_{i\in I}n_ia_i=0

필요충분조건n=0인 경우다.

아벨 군 G계수는 그 일차 독립 부분집합들의 크기들의 최댓값이다.

이 정의는 벡터공간의 (하멜) 차원의 정의를 그대로 일반화한 것이다. 벡터공간은 벡터 덧셈에 대하여 아벨 군을 이루는데, 이 경우 벡터 공간의 (아벨 군으로서의) 계수는 그 (벡터공간의로서의) 하멜 차원과 같다. (벡터공간의 (하멜) 차원은 물론 위상벡터공간의 (슈라더) 차원과 다른 개념이다.)