유체론

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수론에서, 유체론(類體論, 영어: class field theory)은 대수적 수론의 한 분야다. 대수적 수체와 대수적 함수체의 아벨 확대를 다룬다.

대략, K에 대하여, 어떤 최대 아벨 확대 A가 존재한다. 그 갈루아 군 G콤팩트 아벨 사유한군의 구조를 가진다. 유체론의 기본 목표는 주어진 K에 대한 G의 성질들을 계산하는 것이다.

전개[편집]

국소 유체론[편집]

국소체 K가 주어지면, 그 최대 아벨 확대 K^{\text{ab}}갈루아 군

\operatorname{Gal}(K^{\text{ab}}/K)

를 생각할 수 있다. 이는 자연스럽게 사유한군의 구조를 가진다. 유체론에 따르면, 다음과 같은 국소 아르틴 준동형사상(영어: local Artin homomorphism)이 존재한다.

K^\times\to \operatorname{Gal}(K^{\text{ab}}/K)

또한, 이에 따라서 다음과 같은 위상군동형사상을 유도할 수 있다.

\hat K^\times\cong \operatorname{Gal}(K^{\text{ab}}/K)

여기서 \hat K^\timesK의 곱셈군의 사유한 완비이다.

또한, 다음 집합들 사이에 자연스러운 전단사함수가 존재한다.

  • 곱셈군 K^\times의 유한 지표 열린 부분군
  • 아벨 절대 갈루아 군 \operatorname{Gal}(K^\text{ab}/K)의 유한 지표 열린 부분군
  • K^{\text{sep}}/K에 포함된 유한 아벨 확대 (K^{\text{sep}}K의 분해가능(separable) 폐포)

구체적으로, 이 전단사함수는 다음과 같다. 임의의 유한 아벨 확대 L에 대하여,

L\leftrightarrow\operatorname{Gal}(L/K)\subset\operatorname{Gal}(K^\text{ab}/K)\leftrightarrow N_{L/K}(L^\times)\subset K^\times

또한,이 대응 아래 다음과 같은 위상군동형사상이 존재한다.

\operatorname{Gal}(L/K)\cong K^\times/(N_{L/K}L^\times)

대역 유체론[편집]

K대역체라고 하자. K이델 군(영어: idèle group) \mathbb A_K^\times 아델 환 \mathbb A_K의 가역원들의 군이다. K이델류군(영어: idèle class group) C_K는 다음과 같다.

C_K=\mathbb A_K^\times/K^\times

유체론에 따르면, 다음과 같은 대역 아르틴 준동형사상(영어: global Artin homomorphism)이 존재한다.

C_K\to\operatorname{Gal}(K^\text{ab}/K)

또한, 이에 따라서 다음과 같은 위상군동형사상을 유도할 수 있다.

\hat C_K\cong\operatorname{Gal}(K^\text{ab}/K)

또한, 다음 집합들 사이에 자연스러운 전단사함수가 존재한다.

구체적으로, 이 전단사함수는 다음과 같다. 임의의 유한 아벨 확대 L에 대하여,

L\leftrightarrow\operatorname{Gal}(L/K)\subset\operatorname{Gal}(K^\text{ab}/K)\leftrightarrow N_{L/K}(C_L)\subset C_K

여기서 N_{L/K}체의 노름이다. 이 경우, L을 노름 군 C_L/N_{L/K}(C_K)유체(類體, 영어: class field)라고 한다. 또한,이 대응 아래 다음과 같은 위상군동형사상이 존재한다.

\operatorname{Gal}(L/K)\cong C_K/(N_{L/K}C_L)

국소 유체론과 대역 유체론을 비교하면 다음과 같은 대응이 존재한다.

국소 유체론 대역 유체론
국소체 k 대역체 K
표수 0 국소체 = \mathbb Q_p 유한확대, \mathbb R, \mathbb C 표수 0 대역체 = \mathbb Q 유한확대 (대수적 수체)
표수 p 국소체 = \mathbb F_{p^n}((t)) 표수 p 대역체 = \mathbb F_{p^n}(t)의 유한확대
국소체의 곱셈군 k^\times 대역체의 이델류군 C_K
국소 아르틴 준동형사상 \theta\colon k^\times\to\operatorname{Gal}(k^{\text{ab}}/k) 대역 아르틴 준동형사상 \Theta\colon C_K\to\operatorname{Gal}(K^{\text{ab}}/K)

[편집]

대역체의 가장 간단한 예는 유리수체 \mathbb Q이다. 그 최대 아벨 확대 \mathbb Q^{\text{ab}}는 유리수체에 1의 모든 n제곱근들의 군 (복소수 곱셈군 \mathbb C^\times꼬임 부분군)

\mu_\infty=\{\exp(2\pi ir)\colon r\in\mathbb Q\}

을 추가한 확대

\mathbb Q^{\text{ab}}=\mathbb Q(\mu_\infty)

이다. 즉, 원분체들의 사영극한이다.

유리수체의 이델 군은

\mathbb A^\times_{\mathbb Q}\cong\mathbb Q^\times\times\mathbb R^+\times\hat{\mathbb Z}^\times

이다. 여기서 \hat{\mathbb Z}^\times는 정수환의 사유한 완비의 가역원들의 군이다. 유리수체의 이델류군은

C_{\mathbb Q}=\mathbb A^\times_{\mathbb Q}/\mathbb Q^\times=\mathbb R^+\times\hat{\mathbb Z}^\times

이다. 여기에 사유한 완비를 취하면 \mathbb R^+ 인자가 사라지게 된다.

\hat C_{\mathbb Q}=\hat{\mathbb Z}^\times

따라서

\operatorname{Gal}(\mathbb Q^{\text{ab}}/\mathbb Q)\cong\hat{\mathbb Z}^\times\cong\prod_p\mathbb Z_p^\times

이다. 즉, 유리수체의 절대 아벨 갈루아 군 \operatorname{Gal}(\mathbb Q^{\text{ab}}/\mathbb Q)은 정수환의 사유한 완비 \hat{\mathbb Z}의 가역원들의 곱셈군과 동형이다. 이 동형은 크로네커-베버 정리와 동치이며, 아르틴 상호법칙(Artin reciprocity)의 예이다.

여기서 정수환의 사유한 완비는 p진 정수의 환들의 곱으로 나타낼 수 있다.

\hat{\mathbb Z}\cong\prod_p\mathbb Z_p

즉,

\hat{\mathbb Z}^\times\cong\prod_p\mathbb Z_p^\times

이다.

참고 문헌[편집]

  • (영어) Kawada, Y. (1955년). Class formations. 《Duke Math.J.》 22: 165–177. Zbl 0067.01904.
  • (영어) Kawada, Y., I. Satake (1956년). Class formations. II. 《J.Fac. Sci.Univ. Tokyo Sect. 1A》 7: 353–389. Zbl 0101.02902.

바깥 고리[편집]