국소체

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대수적 수론에서, 국소체(局所體, 영어: local field)는 위상체의 한 종류다. 대역체완비화로 얻어진다.

정의[편집]

위상체 K에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상체를 국소체라고 한다.

비아르키메데스 국소체[편집]

비아르키메데스 국소체 K의 이산 값매김 |\cdot|에 대하여,

\mathcal O_K=\{a\in K\colon |a|\le1\}

이산 값매김환을 이루며, 이를 K대수적 정수환이라고 한다. \mathcal O_K가역원군

\mathcal O_K^\times=\{a\in K\colon|a|=1\}

이며, \mathcal O_K의 유일한 0이 아닌 소 아이디얼

\mathfrak m=\{a\in K\colon|a|<1\}

이다. \mathcal O_K주 아이디얼 정역이므로 \mathfrak m주 아이디얼인데, \mathfrak m의 생성원을 균일화자(영어: uniformizer) \varpi\in\mathcal O_K라고 한다. \mathcal O_K잉여류체 \mathcal O_K/\mathfrak m유한체이다.

비아르키메데스 국소체 Kn차 가역원군(영어: nth unit group)은 다음과 같다.

U^{(n)}_K=1+\mathfrak m^n=\left\{u\in\mathcal O^\times_K:u\equiv1\pmod{\mathfrak m^n}\right\}

0차 가역원군은 (통상적) 가역원군 \mathcal O^\times_K이다. 이에 대하여

\mathcal O^\times_K=U^{(0)}_K\supseteq U^{(1)}_K\supseteq\cdots

이며,

\mathcal O^\times_K/U^{(n)}_K\cong(\mathcal O/\mathfrak m^n)^\times

이다.

가역원군의 구조[편집]

국소체 K가역원군의 구조는 다음과 같다. 만약 K아르키메데스 체일 경우,

\mathbb R^\times\cong(\mathbb Z/(2))\times\mathbb R
\mathbb C^\times\cong(\mathbb R/(2\pi))\times\mathbb R

는 매우 익숙한 아벨 군이다.

만약 K가 비아르키메데스 체일 경우,

K^\times\cong(\varpi)\times\mu_{q-1}\times U^{(1)}_K

이다. 여기서 (\varpi)K의 정수환의 유일 극대 아이디얼이며, \mu_{q-1}K의 정수환의 잉여류체 \mathcal O_K/(\varpi)1의 거듭제곱근들의 군이며, U^{(1)}_K는 1차 가역원군이다. 구체적으로, 만약 K\mathbb Q_p의 차수가 d유한 확대라면

K^\times\cong\mathbb Z\oplus\mathbb Z/(q-1)\oplus\mathbb Z/p^a\oplus\mathbb Z_p^d

이다. 여기서 qK의 정수환의 잉여류체의 크기다. 만약 K=\mathbb F_{p^n}((x))이라면

\left(\mathbb F_{p^n}((x))\right)^\times\cong\mathbb Z\oplus\mathbb Z/(p^n-1)\oplus\mathbb Z_p^{\mathbb N}

이다.

참고 문헌[편집]

  • Serre, Jean-Pierre (1995). 《Local fields》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 67. Springer. ISBN 0-387-90424-7. 
  • Fesenko, Ivan B.; Sergei V. Vostokov (2002). 《Local fields and their extensions》 (영어). Translations of Mathematical Monographs 121 (2판판). Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3259-2. MR 1915966. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]