원분체

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대수적 수론에서, 원분체(圓分體, 영어: cyclotomic field)는 유리수체1의 거듭제곱근을 첨가하여 얻는 대수적 수체이다.

정의[편집]

n\ge3이 3 이상의 정수이며, n\not\equiv 2\pmod 4라고 하자. n원분체\zeta_n^n=1을 만족시키는 원소 \zeta_n을 첨가한, 유리수체확대 \mathbb Q(\zeta_n)이다.

성질[편집]

원분체 \mathbb Q(\zeta_n)/\mathbb Q갈루아 확대이며, 차수는 오일러 피 함수에 의하여 주어진다.

[\mathbb Q(\zeta_n):\mathbb Q]=\phi(n)

원분체의 갈루아 군\mathbb Z/(n)가역원

\operatorname{Gal}(\mathbb Q(\zeta_n)/\mathbb Q)\cong(\mathbb Z/(n))^\times

이며, 이 동형은 구체적으로

[k]\colon\sum_{0\le i<n}^{\gcd(i,n)=1}a_i\zeta_n^i\mapsto\sum_{0\le i<n}^{\gcd(i,n)=1}a_i\zeta_n^{ki}

이다.

유수[편집]

원분체 \mathbb Q(\zeta_n) 가운데, 유수가 1이 아닌 것(즉, 그 대수적 정수환유일 인수 분해 정역이 아닌 것)들은 다음과 같다 (n\le60, n\not\equiv2\pmod4). (OEIS의 수열 A61653)

n 유수 n 유수 n 유수 n 유수
23 3 29 8 31 9 37 37
39 2 41 121 43 211 47 695
49 43 51 5 52 3 53 4889
55 10 56 2 57 9 59 41241

소수의 분기화[편집]

\mathbb Q(\zeta^n)/\mathbb Q에서 분기하는 소수n의 소인수들이다. 만약

n=\prod_pp^{n_p}

라면 n_p>0, \mathbb Z소 아이디얼 (p)\mathcal O_{\mathbb Q(\zeta^n)}에서 \phi(p^{n_p})제곱 아이디얼로 분해된다. 즉,

(p)=(\mathfrak P_1\cdots\mathfrak P_s)^{\phi(p^{n_p})}

인 서로 다른 소 아이디얼\mathfrak P_1,\dots,\mathfrak P_s\subset\mathcal O_{\mathbb Q(\zeta_n)}이 존재한다.

참고 문헌[편집]

  • (영어) Washington, Lawrence C. (1982년). 《Introduction to Cyclotomic Fields》, Graduate Texts in Mathematics 83. Springer. ISBN 0-387-90622-3
  • (영어) Lang, Serge (1990년). 《Cyclotomic Fields I and II》, Graduate Texts in Mathematics 121, 2판 (1·2권 합본), Springer. ISBN 0-387-96671-4
  • (영어) Coates, John, Sujatha Ramdorai (2006년). 《Cyclotomic fields and zeta values》, Springer Monographs in Mathematics. Springer. Zbl 1100.11002. ISBN 3-540-33068-2

같이 보기[편집]