원분체

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대수적 수론에서, 원분체(圓分體, 영어: cyclotomic field)는 유리수체1의 거듭제곱근을 첨가하여 얻는 대수적 수체이다.

정의[편집]

n\ge3이 3 이상의 정수이며, n\not\equiv 2\pmod 4라고 하자. n원분체\zeta_n^n=1을 만족시키는 원소 \zeta_n을 첨가한, 유리수체확대 \mathbb Q(\zeta_n)이다.

성질[편집]

원분체 \mathbb Q(\zeta_n)/\mathbb Q갈루아 확대이며, 차수는 오일러 피 함수에 의하여 주어진다.

[\mathbb Q(\zeta_n):\mathbb Q]=\phi(n)

원분체의 갈루아 군\mathbb Z/(n)가역원

\operatorname{Gal}(\mathbb Q(\zeta_n)/\mathbb Q)\cong(\mathbb Z/(n))^\times

이며, 이 동형은 구체적으로

[k]\colon\sum_{0\le i<n}^{\gcd(i,n)=1}a_i\zeta_n^i\mapsto\sum_{0\le i<n}^{\gcd(i,n)=1}a_i\zeta_n^{ki}

이다.

유수[편집]

원분체 \mathbb Q(\zeta_n) 가운데, 그 대수적 정수환유일 인수 분해 정역인 것(유수가 1인 것)은 총 30개가 있으며, 다음과 같다.

n\in\{1,\dots,21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84\} (OEIS의 수열 A5848)

유수가 1이 아닌 원분체의 유수들은 다음과 같다 (n\le99, n\not\equiv2\pmod4). (OEIS의 수열 A61653)

n 유수 n 유수 n 유수 n 유수
23 3 29 8 31 9 37 37
39 2 41 121 43 211 47 695
49 43 51 5 52 3 53 4889
55 10 56 2 57 9 59 41241
61 76301 63 7 64 17 65 64
67 853513 68 8 69 69 71 3882809
72 3 73 11957417 75 11 76 19
77 1280 79 100146415 80 5 81 2593
83 838216959 85 6205 87 1536 88 55
89 13379363737 91 53872 92 201 93 6795
95 107692 96 9 97 411322842001 99 2883

소수의 분기화[편집]

\mathbb Q(\zeta^n)/\mathbb Q에서 분기하는 소수n의 소인수들이다. 만약

n=\prod_pp^{n_p}

라면 n_p>0, \mathbb Z소 아이디얼 (p)\mathcal O_{\mathbb Q(\zeta^n)}에서 \phi(p^{n_p})제곱 아이디얼로 분해된다. 즉,

(p)=(\mathfrak P_1\cdots\mathfrak P_s)^{\phi(p^{n_p})}

인 서로 다른 소 아이디얼\mathfrak P_1,\dots,\mathfrak P_s\subset\mathcal O_{\mathbb Q(\zeta_n)}이 존재한다.

참고 문헌[편집]

  • Washington, Lawrence C. (1982). 《Introduction to Cyclotomic Fields》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 83. Springer. ISBN 0-387-90622-3. 
  • Lang, Serge (1990). 《Cyclotomic Fields I and II》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 121 (2판 (1·2권 합본)판). Springer. ISBN 0-387-96671-4. 
  • Coates, John; Sujatha Ramdorai (2006). 《Cyclotomic fields and zeta values》 (영어). Springer Monographs in Mathematics. Springer. ISBN 3-540-33068-2. Zbl 1100.11002. 

같이 보기[편집]