크로네커-베버 정리

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크로네커-베버 정리(영어: Kronecker–Weber theorem, -定理)는 대수적 수론정리로, 유리수체 위의 갈루아 군아벨군인 모든 대수적 수체, 즉 유리수체의 임의 유한 아벨 확대원분체부분체라는 내용이다.

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예를 들어, \mathbb Q[\sqrt 5]/\mathbb Q갈루아 군\mathbb Z/2이므로 이는 유리수체의 아벨 확대이다. 따라서 \sqrt5는 1의 거듭제곱근들의 유리수 계수 선형결합으로 나타낼 수 있다. 구체적으로,

\sqrt{5} = e^{2 \pi i / 5} - e^{4 \pi i / 5} - e^{6 \pi i / 5} + e^{8 \pi i / 5}

이다. 즉, \mathbb Q[\sqrt5]원분체 \mathbb Q[\exp(2\pi i/5)]의 부분체이다.

역사[편집]

이 정리는 1853년 독일레오폴트 크로네커에 의해 처음으로 언급되었지만 증명은 완벽하지 못했다.[1][2] 또 다른 독일 수학자인 하인리히 마르틴 베버(Heinrich Martin Weber)가 1886년 완벽해 보이는 증명을 출판하여 이 둘의 이름이 붙었다. 그러나 베버의 첫 증명에는 약간의 비약과 오류가 있었고, 올라프 노이만(Olaf Neumann)이 1981년 논문을 통해 이를 바로잡았다.[3] 다비트 힐베르트1896년 처음으로 이 정리의 올바르고 완전한 증명에 성공하였다.[4]

국소적 크로네커-베버 정리[편집]

미국조너선 루빈(Jonathan Lubin)과 존 테이트1965년, 1966년 두 논문을 통해 크로네커-베버 정리의 국소화된 판본을 발표하였다. 여기서 루빈과 테이트는 국소체(local field)의 임의 아벨 확대원분 확대(cyclotomic extension)와 루빈-테이트 확대(Lubin-Tate extension)만으로 구성될 수 있다는 것을 보였다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. Kronecker, Leopold (1853), "Über die algebraisch auflösbaren Gleichungen", Berlin K. Akad. Wiss.: 365–374, Collected works volume 4
  2. Kronecker, Leopold (1877), "Über Abelsche Gleichungen", Berlin K. Akad. Wiss.: 845–851, Collected works volume 4
  3. Neumann, Olaf (1981), "Two proofs of the Kronecker-Weber theorem "according to Kronecker, and Weber"", Journal für die reine und angewandte Mathematik 323: 105–126, DOI:10.1515/crll.1981.323.105, ISSN 0075-4102, MR611446
  4. (독일어) Hilbert, David (1896년). Ein neuer Beweis des Kronecker'schen Fundamentalsatzes über Abel'sche Zahlkörper. 《Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen》: 29–39.