아르틴 상호 법칙

유체론에서 아르틴 상호 법칙(Artin相互法則, 영어: Artin reciprocity law)은 이차 상호 법칙을 대역체의 임의의 유한 아벨 확대로 일반화하는 정리이다.

정의

$K$가 대수적 수체이며, $L/K$가 유한 아벨 확대라고 하자.

$K$의 정수환 ${\mathcal {O}}_{K}$의 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}$에 대하여, 만약 ${\mathfrak {p}}$가 $L/K$에서 분기(영어: ramified)되지 않는 소수라면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 프로베니우스 자기 동형 사상

$\left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)\in \operatorname {Gal} (L/K)$

가 존재한다. ${\mathfrak {p}}$ 위의, ${\mathcal {O}}_{L}$의 모든 소 아이디얼 ${\mathfrak {P}}$에 대하여,

$\left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)({\mathfrak {P}})={\mathfrak {P}}$

$\left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)(\alpha )\equiv \alpha ^{N_{L/K}({\mathfrak {p}})}{\pmod {\mathfrak {P}}}$

$S$가 $L/K$에서 분기되는 모든 소 아이디얼들을 포함하는 유한 집합이라면, $S$에 대하여 서로소인 분수 아이디얼들의 아벨 군 $I_{K}^{S}$에서 갈루아 군 $\operatorname {Gal} (L/K)$으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재하며, 이를 아르틴 사상(영어: Artin map)이라고 한다.

$\left({\frac {L/K}{\cdot }}\right)\colon I_{K}^{S}\to \operatorname {Gal} (L/K)$

$\prod _{i=1}^{m}{\mathfrak {p}}_{i}^{n_{i}}\mapsto \prod _{i=1}^{m}\left({\frac {L/K}{{\mathfrak {p}}_{i}}}\right)^{n_{i}}$

아르틴 상호 법칙은 아르틴 사상의 핵이 무엇인지를 제시한다. 구체적으로, 어떤 모듈러스 ${\mathfrak {c}}$에 대하여, 군 준동형

$I_{K}^{S}\to \operatorname {Gal} (L/K)$

의 핵은 다음과 같은 꼴이다.

$i(K_{{\mathfrak {m}},1})\operatorname {N} _{L/K}(I_{L}^{\mathfrak {m}})$

여기서 $K_{{\mathfrak {m}},1}$은 ${\mathfrak {m}}$에 대한 반직선이며, $\operatorname {N} _{L/K}$는 체 노름이다. 이러한 조건을 만족시키는 모듈러스를 $L/K$의 정의 모듈러스(영어: defining modulus)라고 하며, 정의 모듈러스 가운데 가장 작은 것을 $L/K$의 인도자(引導者, 영어: conductor)라고 한다.

예

이차 수체

이차 수체 $L=\mathbb {Q} [{\sqrt {m}}]$을 생각하자 ($m$은 제곱 인수가 없는 정수). 그렇다면 $K/\mathbb {Q}$에서 분기되는 소수들은 다음과 같다.

• 만약 $m\equiv 1{\pmod {4}}$인 경우, $p\mid m$인 소수 $p$. 이 경우, 판별식은 $\Delta =m$이다.
• 만약 $m\not \equiv 1{\pmod {4}}$인 경우, $p\mid m$인 홀수 소수 $p$ 및 2. 이 경우, 판별식은 $\Delta =4m$이다.

이 경우, 갈루아 군은

$\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} [{\sqrt {m}}]/\mathbb {Q} )=\{+1,-1\}$

이다. 이 경우, 아르틴 사상은 $m$의 인수가 아닌 소수에 대하여 정의된 르장드르 기호이다.

$\left({\frac {m}{\cdot }}\right)\colon p\mapsto \left({\frac {\Delta }{p}}\right)$

원분체

원분체 $L=\mathbb {Q} [\zeta _{m}]$을 생각하자 ($m$은 소수이거나 4의 배수). 그렇다면 갈루아 군은

$\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} [\zeta _{m}]/\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /(m))^{\times }$

이다. 여기서 $(\mathbb {Z} /(m))^{\times }$은 $\mathbb {Z} /(m)$의 가역원군이다. 구체적으로, $a\in (\mathbb {Z} /(m))^{\times }$은 갈루아 군의 원소 $\zeta _{\mapsto }\zeta _{m}^{a}$에 대응된다.

이 경우, $m$의 인수가 아닌 소수 $p$에 대하여, 아르틴 사상은

$({\bmod {m}})\colon p\mapsto (p{\bmod {m}})\in (\mathbb {Z} /(m))^{\times }$

이다.

역사

에밀 아르틴이 1924년~1930년 동안 3편의 논문에서 증명하였다.

같이 보기

• 아르틴 L-함수
• 모듈러스

참고 문헌

• Artin, Emil; John Tate (1990). 《Class field theory》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-51011-9. 
• Childress, Nancy (2008). 《Class field theory》. Universitext (영어). doi:10.1007/978-0-387-72490-4. ISBN 978-0-387-72489-8. ISSN 0172-5939. Zbl 1165.11001. 
• Lenstra, H.W., Jr.; P. Stevenhagen (2000년 3월). “Artin reciprocity law and Mersenne primes” (PDF). 《Nieuw Archief voor Wiskunde (serie 5)》 (영어) 1 (1): 44–54. 
• Frei, Günther (2004). 〈On the History of the Artin Reciprocity Law in Abelian Extensions of Algebraic Number Fields: How Artin was Led to his Reciprocity Law〉. 《The Legacy of Niels Henrik Abel: The Abel Bicentennial, Oslo, 2002》 (영어). 267–294쪽. doi:10.1007/978-3-642-18908-1_8. ISBN 978-3-642-62350-9. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Artin reciprocity”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Artin map”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Artin symbol”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Artin reciprocity law”. 《nLab》 (영어). 
• Mathew, Akhil (2010년 6월 22일). “The Artin reciprocity law”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어).