폰트랴긴 쌍대성

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조화해석학에서, 폰트랴긴 쌍대성(Понтрягин雙對性, 영어: Pontryagin duality)은 국소 콤팩트 아벨 군 사이의 쌍대성이다. 이는 일반적으로 국소 콤팩트 아벨 군 위에 정의된 함수의 푸리에 변환이 다른 국소 콤팩트 아벨 군 위에 정의된 함수라는 사실에서 기인한다.

역사[편집]

레프 폰트랴긴이 1934년에 도입하였다.[1] 에흐버르트 판 캄펀 (1935)[2]앙드레 베유 (1940)가 이를 일반적인 국소 콤팩트 아벨 군에 대하여 확장하였다.

정의[편집]

G국소 콤팩트 아벨 위상군이라고 하자. G지표(영어: character)는 원군(circle group) U(1)으로의 연속 군 준동형사상 G\to U(1)이다. G의 지표들은 모든 점에서의 곱셈(pointwise product)을 통해 을 이루는데, 이를 G지표군(영어: character group) \hat G라고 한다. 지표군은 아벨 군이며, 여기에 콤팩트-열린 집합 위상(compact-open topology)을 줄 수 있다. 이렇게 하면 \hat G국소 콤팩트 아벨 위상군을 이룬다.

지표군의 지표군 \hat{\hat G}\cong G은 원래 군과 동형임을 보일 수 있다. 구체적인 동형사상 \iota\colon G\to\hat{\hat G}은 다음과 같다.

\iota\colon g\mapsto(\phi\mapsto\phi(g))

따라서, 국소 콤팩트 아벨 군과 그 지표군이 서로 쌍대 관계를 이루는 것을 알 수 있다. 이를 폰트랴긴 쌍대성이라고 한다.

푸리에 변환[편집]

폰트랴긴 쌍대성을 통해, 푸리에 변환의 개념을 일반적인 국소 콤팩트 아벨 위상군에 대하여 확장시킬 수 있다.

G가 국소 콤팩트 아벨 위상군이라고 하자. 그 위에는 하르 측도 \mu가 정의된다. (만약 G가 콤팩트하지 않다면, 하르 측도 \mu의 크기를 골라야 한다.)

그렇다면, G 위의 적분 가능 함수 f\in L^1(G)푸리에 변환 \hat f\colon\hat G\to\mathbb C은 다음과 같다. 모든 \hat g\in\hat G에 대하여,

\hat f(\hat g)=\int_Gf(g)\overline{\hat g(g)}\,d\mu(g)

마찬가지로, \hat f\in L^1(\hat G)역 푸리에 변환은 다음과 같다.

f(g)=\int_{\hat G}\hat f(\hat g)\hat g(g)\,d\hat\mu(\hat g)

이는 쌍대군 \hat G 위에 정의된 하르 측도 \hat\mu의 크기에 의존하는데, 만약 G의 측도 \mu가 정의되었다면, 역 푸리에 변환이 푸리에 변환의 역이 되게 하는 유일한 하르 측도 \hat\mu가 존재한다. 이를 \mu쌍대 측도(영어: dual measure)라고 한다.

콤팩트 군의 경우, 통상적으로 군의 부피가 1이 되게 (\operatorname{vol}(G)=1) 하는 측도를 사용하며, 이산군의 경우 이산 측도를 사용한다. 콤팩트성과 이산성은 서로 쌍대적이며, 군의 부피가 1이 되는 측도의 쌍대 측도는 이산 측도이다. 콤팩트 이산군이라면 두 측도 다 정의되며, 이는 (자명군을 제외하면) \#G배만큼 다르다. 예를 들어, 순환군 \mathbb Z/n의 경우, 군의 부피가 1이 되게 정의하면 \mu(S)=\#S/n이지만, 이산 측도는 \mu(S)=\#S이다.

보다 일반적으로, 조절된 초함수(영어: tempered distribution)를 (슈와르츠 함수의 일반화인) 슈와르츠-브루아 함수(영어: Schwarz–Bruhat function)를 사용하여 정의할 수 있다.

[편집]

다음과 같은 폰트랴긴 쌍대군들이 존재한다.

쌍대군
U(1)
ℤ/nℤ ℤ/nℤ
p p
\hat{\mathbb Q}[3]
G\times H \hat G\times\hat H

따라서, U(1) 위에 정의된 함수의 푸리에 변환은 ℤ 위에 정의된 함수(수열)이다. 이는 주기함수푸리에 급수에 해당한다. 또한, 순환군 위에 정의된 함수의 푸리에 변환은 이산 푸리에 변환에 해당한다.

성질[편집]

국소 콤팩트 아벨 위상군이 콤팩트필요충분조건은 그 지표군이 이산군이라는 것이다. 즉, 콤팩트성은 이산성과 쌍대이다.

참고 문헌[편집]

  1. L.S. Pontryagin, "The theory of topological commutative groups" Ann. of Math. , 35 : 2 (1934) pp. 361–388
  2. E. van Kampen, "Locally bicompact Abelian groups and their character groups" Ann. of Math. , 36 (1935) pp. 448–463
  3. Conrad, Keith. The character group of Q.

바깥 고리[편집]