폰트랴긴 쌍대성

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조화해석학에서, 폰트랴긴 쌍대성(Понтрягин雙對性, 영어: Pontryagin duality)은 국소 콤팩트 아벨 군 사이의 쌍대성이다. 이는 일반적으로 국소 콤팩트 아벨 군 위에 정의된 함수의 푸리에 변환이 다른 국소 콤팩트 아벨 군 위에 정의된 함수라는 사실에서 기인한다.

역사[편집]

레프 폰트랴긴이 1934년에 도입하였다. 에흐버르트 판 캄펀 (1935)과 앙드레 베유 (1940)가 이를 일반적인 국소 콤팩트 아벨 군에 대하여 확장하였다.

정의[편집]

G국소 콤팩트 아벨 위상군이라고 하자. G지표(영어: character)는 원군(circle group) U(1)으로의 연속 군 준동형사상 G\to U(1)이다. G의 지표들은 모든 점에서의 곱셈(pointwise product)을 통해 을 이루는데, 이를 G지표군(영어: character group) \hat G라고 한다. 지표군은 아벨 군이며, 여기에 콤팩트-열린 집합 위상(compact-open topology)을 줄 수 있다. 이렇게 하면 \hat G국소 콤팩트 위상군을 이룬다.

지표군의 지표군 \hat{\hat G}\cong G은 원래 군과 동형임을 보일 수 있다. 구체적인 동형사상 \iota\colon G\to\hat{\hat G}은 다음과 같다.

\iota\colon g\mapsto(\phi\mapsto\phi(g))

따라서, 국소 콤팩트 아벨 군과 그 지표군이 서로 쌍대 관계를 이루는 것을 알 수 있다. 이를 폰트랴긴 쌍대성이라고 한다.

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다음과 같은 폰트랴긴 쌍대군들이 존재한다.

쌍대군
U(1)
ℤ/nℤ ℤ/nℤ
p p
\hat{\mathbb Q}[1]
G\times H \hat G\times\hat H

따라서, U(1) 위에 정의된 함수의 푸리에 변환은 ℤ 위에 정의된 함수(수열)이다. 이는 주기함수푸리에 급수에 해당한다. 또한, 순환군 위에 정의된 함수의 푸리에 변환은 이산 푸리에 변환에 해당한다.

성질[편집]

국소 콤팩트 아벨 위상군이 콤팩트필요충분조건은 그 지표군이 이산군이라는 것이다. 즉, 콤팩트성은 이산성과 쌍대이다.

참고 문헌[편집]

  1. Conrad, Keith. The character group of Q.