폰트랴긴 쌍대성

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조화해석학에서, 폰트랴긴 쌍대성(Понтрягин雙對性, 영어: Pontryagin duality)은 국소 콤팩트 아벨 군 사이의 쌍대성이다. 이는 일반적으로 국소 콤팩트 아벨 군 위에 정의된 함수의 푸리에 변환이 다른 국소 콤팩트 아벨 군 위에 정의된 함수라는 사실에서 기인한다.

정의[편집]

G하우스도르프 국소 콤팩트 아벨 위상군이라고 하자. G지표(영어: character)는 원군(circle group) U(1)으로의 연속 군 준동형 G\to U(1)이다. G의 지표들은 모든 점에서의 곱셈(pointwise product)을 통해 을 이루는데, 이를 G지표군(영어: character group) \hat G라고 한다. 지표군은 아벨 군이며, 여기에 콤팩트-열린 집합 위상을 줄 수 있다. 이렇게 하면 \hat G국소 콤팩트 아벨 위상군을 이룬다.

지표군의 지표군 \hat{\hat G}\cong G은 원래 군과 동형임을 보일 수 있다. 구체적인 동형사상 \iota\colon G\to\hat{\hat G}은 다음과 같다.

\iota\colon g\mapsto(\phi\mapsto\phi(g))

따라서, 국소 콤팩트 아벨 군과 그 지표군이 서로 쌍대 관계를 이루는 것을 알 수 있다. 이를 폰트랴긴 쌍대성이라고 한다.

성질[편집]

폰트랴긴 쌍대성 아래, 하우스도르프 아벨 위상군에 대하여 다음 조건들이 서로 쌍대이다.

조건 A 조건 B
국소 콤팩트 국소 콤팩트
콤팩트 이산
이산 유한 이산 유한
콤팩트 거리화 가능 이산 가산
콤팩트 연결 이산, 꼬임 부분군이 자명군
콤팩트 경로 연결 이산 화이트헤드 군
유한 차원 실수 벡터 공간 유한 차원 실수 벡터 공간
제2 가산 공간 제2 가산 공간
거리화 가능 시그마-콤팩트

임의의 하우스도르프 아벨 위상군 G 및 위 표의 임의의 행에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • G는 조건 A를 만족시킨다.
  • \hat G는 조건 B를 만족시킨다.

물론, \hat{\hat G}\cong G이므로 조건 A와 조건 B를 맞바꿀 수 있다.

이 표는 다음과 같이 범주의 동치로도 적을 수 있다.

\operatorname{HausLocCompAb}^{\operatorname{op}}\simeq\operatorname{HausLocCompAb}
\operatorname{HausCompAb}^{\operatorname{op}}\simeq\operatorname{Ab}
\vdots

여기서 \operatorname{HausLocCompAb}는 하우스도르프 국소 콤팩트 아벨 위상군과 연속 군 준동형의 범주이며, \operatorname{HausCompAb}는 하우스도르프 콤팩트 아벨 위상군과 연속 군 준동형의 범주이며, \operatorname{Ab}는 아벨 군의 범주이다. (모든 아벨 군에는 자명하게 이산 위상을 줄 수 있으며, 두 이산 공간 사이의 임의의 함수는 항상 연속 함수이다.)

푸리에 변환[편집]

폰트랴긴 쌍대성을 통해, 푸리에 변환의 개념을 일반적인 국소 콤팩트 아벨 위상군에 대하여 확장시킬 수 있다.

G가 국소 콤팩트 아벨 위상군이라고 하자. 그 위에는 하르 측도 \mu가 정의된다. (만약 G가 콤팩트하지 않다면, 하르 측도 \mu의 크기를 골라야 한다.)

그렇다면, G 위의 적분 가능 함수 f\in L^1(G)푸리에 변환 \hat f\colon\hat G\to\mathbb C은 다음과 같다. 모든 \hat g\in\hat G에 대하여,

\hat f(\hat g)=\int_Gf(g)\overline{\hat g(g)}\,d\mu(g)

마찬가지로, \hat f\in L^1(\hat G)역 푸리에 변환은 다음과 같다.

f(g)=\int_{\hat G}\hat f(\hat g)\hat g(g)\,d\hat\mu(\hat g)

이는 쌍대군 \hat G 위에 정의된 하르 측도 \hat\mu의 크기에 의존하는데, 만약 G의 측도 \mu가 정의되었다면, 역 푸리에 변환이 푸리에 변환의 역이 되게 하는 유일한 하르 측도 \hat\mu가 존재한다. 이를 \mu쌍대 측도(영어: dual measure)라고 한다.

콤팩트 군의 경우, 통상적으로 군의 부피가 1이 되게 (\operatorname{vol}(G)=1) 하는 측도를 사용하며, 이산군의 경우 이산 측도를 사용한다. 콤팩트성과 이산성은 서로 쌍대적이며, 군의 부피가 1이 되는 측도의 쌍대 측도는 이산 측도이다. 콤팩트 이산군이라면 두 측도 다 정의되며, 이는 (자명군을 제외하면) \#G배만큼 다르다. 예를 들어, 순환군 \mathbb Z/n의 경우, 군의 부피가 1이 되게 정의하면 \mu(S)=\#S/n이지만, 이산 측도는 \mu(S)=\#S이다.

보다 일반적으로, 조절된 초함수(영어: tempered distribution)를 (슈와르츠 함수의 일반화인) 슈와르츠-브루아 함수(영어: Schwarz–Bruhat function)를 사용하여 정의할 수 있다.

[편집]

다음과 같은 폰트랴긴 쌍대군들이 존재한다.

위상군 쌍대 위상군
표준 위상의 실수 덧셈군 \mathbb R 표준적 위상의 실수 덧셈군 \mathbb R
이산 위상의 순환군 \mathbb Z/n\mathbb Z 이산 위상의 순환군 \tfrac1n\mathbb Z/\mathbb Z\cong\mathbb Z/n\mathbb Z
표준 위상의 p진수 덧셈군 \mathbb Q_p 표준 위상의 p진수 덧셈군 \mathbb Q_p
수체 K의 아델 환 \mathbb A_K의 덧셈군 수체 K의 아델 환 \mathbb A_K의 덧셈군
표준 위상의 원군 \operatorname U(1)\cong\mathbb R/\mathbb Z 이산 위상의 정수 덧셈군 \mathbb Z
이산 위상유리수 덧셈군 ℚ \mathbb A_{\mathbb Q}/\mathbb Q[1], 아델 환의 표준 위상의 몫위상
이산 위상의 \mathbb Q/\mathbb Z 정수환의 사유한 완비 \hat{\mathbb Z}
이산 위상수체 K의 덧셈군 \mathbb A_K/K, 아델 환의 표준 위상의 몫위상
이산 위상프뤼퍼 군 \mathbb Z(p^\infty) 표준 위상의 p진 정수 덧셈군 \mathbb Z_p
유한 차원 실수 벡터 공간 V 쌍대 공간 V^*
G\times H \hat G\times\hat H
직합 \bigoplus_iG_i 직접곱 \prod_i\hat G_i

따라서, U(1) 위에 정의된 함수의 푸리에 변환은 ℤ 위에 정의된 함수(수열)이다. 이는 주기함수푸리에 급수에 해당한다. 또한, 순환군 위에 정의된 함수의 푸리에 변환은 이산 푸리에 변환에 해당한다.

유한 아벨 군의 폰트랴긴 쌍대군[편집]

순환군 \mathbb Z/n\mathbb Z의 폰트랴긴 쌍대군은 \tfrac1n\mathbb Z/\mathbb Z이며, 이는 물론 원래 군과 동형이다. 이 경우 폰트랴긴 쌍대성에 의하여 존재하는 군 준동형은 다음과 같다.

(\mathbb Z/n\mathbb Z)\times(\tfrac1n\mathbb Z/\mathbb Z)\to\operatorname U(1)=\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}
([a],[b])\mapsto\exp(2\pi iab)

모든 유한 아벨 군은 순환군들의 직합으로 나타낼 수 있으므로, 모든 유한 아벨 군의 쌍대군은 순환군들로 분해한 뒤 각 성분을 위와 같이 쌍대화하여 얻을 수 있다.

유한 차원 실수 벡터 공간의 폰트랴긴 쌍대군[편집]

V가 표준적인 위상을 갖춘 실수 위의 유한 차원 벡터 공간이라고 하면, 그 덧셈군의 폰트랴긴 쌍대군은 쌍대 공간 V^*의 덧셈군이다. 이 경우 VV^* 사이에는 동형이 존재하지만, 이는 표준적이지 않다. 구체적으로, 폰트랴긴 쌍대성은 다음과 같다.

V\times V^*\to\operatorname U(1)=\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}
(u,v)\mapsto\exp(2\pi iu\cdot v)

무한 차원 실수 벡터 공간은 일반적으로 국소 콤팩트 공간이 아니므로 해당되지 않는다. 마찬가지로, 예를 들어 유리수 위의 벡터 공간의 경우, 유리수의 표준적 (실수 부분 집합으로의) 위상을 잡으면 국소 콤팩트 공간이 되지 않는다.

p진수의 폰트랴긴 쌍대군[편집]

유리수의 각 위치 \nu\in\{0,2,3,5,7,\dots\}에 대하여, 다음과 같은 위상 아벨 군의 짧은 완전열이 존재한다.

0\to\mathbb Z_\nu\to\mathbb Q_\nu\to\mathbb Q_\nu/\mathbb Z_\nu\to0

여기서 \nu=0일 경우, 이 완전열은 무한 순환군과 원군을 다음과 같이 연결한다.

0\to\mathbb Z\to\mathbb R\to\mathbb R/\mathbb Z=\operatorname U(1)\to0

\nu=p일 경우, 이 완전열은 p진 정수프뤼퍼 군을 연결한다.

0\to\mathbb Z_p\to\mathbb Q_p\to\mathbb Q_p/\mathbb Z_p=\mathbb Z(p^\infty)\to0

이 완전열에서, 가운데 원소 \mathbb Q_\nu는 항상 스스로의 폰트랴긴 쌍대군과 동형이며, 따라서 \mathbb Z_\nu\mathbb Q_\nu/\mathbb Z_\nu는 서로 폰트랴긴 쌍대이다.

수체의 폰트랴긴 쌍대군[편집]

유리수의 덧셈군에, (실수의 부분 공간으로서의) 표준 위상을 부여하면 이는 국소 콤팩트 공간을 이루지 않지만, 대신 이산 위상을 부여하면 이는 국소 콤팩트 공간을 이룬다. 이산 위상을 부여한 유리수 덧셈군의 폰트랴긴 쌍대군은 유리수의 아델 환 \mathbb A_{\mathbb Q}의 덧셈군의 몫군 \mathbb A_{\mathbb Q}/\mathbb Q이다. 구체적으로, 이는 아델 환

\mathbb A_{\mathbb Q}=\mathbb R\times\operatorname{\prod'}_p\mathbb Q_p

에서, 대각선 포함 사상

\mathbb Q\hookrightarrow\mathbb A_{\mathbb Q}
q\mapsto(q,q,q,\dots)

에 대한 몫환이다. 보다 일반적으로, 대수적 수체 K/\mathbb Q의 덧셈군에 이산 위상을 주었을 때, 그 폰트랴긴 쌍대군은

\hat K\cong\mathbb A_K/K

이다. 즉, 짧은 완전열

0\to K\to\mathbb A_K\to\mathbb A_K/K\to0

은 폰트랴긴 쌍대성에 대하여 대칭이다.

역사[편집]

레프 폰트랴긴이 1934년에 도입하였다.[2] 에흐버르트 판 캄펀 (1935)[3]앙드레 베유 (1940)[4]가 이를 일반적인 국소 콤팩트 아벨 군에 대하여 확장하였다.

이후, 1950년에 존 테이트가 박사 학위 논문에서 유체론을 사용하여 아델 환대수적 수체의 폰트랴긴 쌍대성을 분석하였고, 이와사와 겐키치도 독자적으로 사실상 같은 이론을 거의 동시에 개발하였다. 이 이론을 테이트 학위 논문(영어: Tate’s thesis) 또는 테이트-이와사와 이론(영어: Tate–Iwasawa theory)이라고 한다.

참고 문헌[편집]

  1. Conrad, Keith. “The character group of Q. 
  2. Pontrjagin, L.S. (1934년 4월). “The theory of topological commutative groups” (영어). 《Annals of Mathematics》 35 (2): 361–388. JSTOR 1968438. 
  3. van Kampen, E. (1935). “Locally bicompact Abelian groups and their character groups” (영어). 《Ann. of Math.》 36: 448–463. JSTOR 1968582. 
  4. Weil, A. (1940). 《L’intégration dans les groupes topologiques et ses applications》 (프랑스어) 1판. 파리: Hermann. 

바깥 고리[편집]