하이젠베르크 군

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수학에서, 하이젠베르크 군(Heisenberg群, 영어: Heisenberg group)은 리 군의 하나이다... 양자역학에서 쓰인다.

정의[편집]

심플렉틱 벡터공간 (V,\omega)가 주어졌다고 하자. 그렇다면 집합 V\times\mathbb R에 다음과 같은 군 연산을 주자.

(\mathbf u,s)\cdot(\mathbf v,t)=(\mathbf u+\mathbf v,s+t+\omega(\mathbf u,\mathbf v)/2)

이는 의 공리들을 만족시킴을 보일 수 있다. 이 군을 V에 대한 하이젠베르크 군 H(V)라고 한다. 이는 (아벨 군으로서의) V중심확대이다. 즉, 다음과 같은 들의 짧은 완전열이 존재한다.

1\to\mathbb R\xrightarrow{t\mapsto(\mathbf0,t)}H(V)\xrightarrow{(\mathbf v,t)\mapsto\mathbf v}V\to1

만약 V가 유한차원이라면, 하이젠베르크 군 H(V)행렬군으로 나타낼 수 있다. \dim V=2n이고, 또한

(p,q),(p',q')\in V
\omega\colon(p,q)=pq'-p'q

라고 하자. 그렇다면 H(V)를 다음과 같은 꼴의 행렬들의 군으로 생각할 수 있다.

\begin{pmatrix}
1&p&t+pq/2\\
0&I_{n\times n}&q\\
0&0&1
\end{pmatrix}\in H(\mathbb R^{2n})=H_{2n+1}(\mathbb R)\subset\operatorname{GL}(2n+1;\mathbb R)

보통 V가 명시되어 있지 않은 경우, n=1인 경우에 해당한다. 즉, H_3(\mathbb R)\subset\operatorname{GL}(3;\mathbb R)를 의미한다.

리 대수[편집]

하이젠베르크 군 H_{2n+1}리 대수 \mathfrak h_{2n+1}는 다음과 같은 꼴의 행렬들로 구성된다.

\begin{pmatrix}
0&\mathbf a&c\\
0&0_{n\times n}&\mathbf b\\
0&0&0
\end{pmatrix}\in\mathfrak h_{2n+1}

이 경우, 행렬 지수 함수는 다음과 같다.

\exp\begin{pmatrix}
0&\mathbf a&c\\
0&0_{n\times n}&\mathbf b\\
0&0&0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1&\mathbf a&c+(\mathbf a\cdot\mathbf b)/2\\
0&I_{n\times n}&\mathbf b\\
0&0&1
\end{pmatrix}

\mathfrak h_{2n+1}에 다음과 같은 기저를 잡자.

P_i=\begin{pmatrix}0&e_i^\top&0\\0&0_{n\times n}&0\\0&0&0\end{pmatrix}
Q_i=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0_{n\times n}&e_i\\0&0&0\end{pmatrix}
C=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0_{n\times n}&0\\0&0&0\end{pmatrix}

그렇다면 \mathfrak h_{2n+1}리 괄호는 다음과 같다.

[P_i,Q_i]=\delta_{ij}C
[P_i,C]=[Q_i,C]=0

표현론[편집]

하이젠베르크 군의 군 표현론스톤-폰 노이만 정리에 따라 주어진다. 이 정리에 따라, 하이젠베르크 군 H_{2n+1}의 비자명 유니터리 기약표현은 (몇 가지의 기술적인 조건을 충족시킨다면) L^2(\mathbb R^n) 위의 다음과 같은 표현 \rho_{\hbar}와 동형이다.

\rho_\hbar\begin{pmatrix}
1&p&t+pq/2\\
0&I_{n\times n}&q\\
0&0&1
\end{pmatrix}\colon\psi(x)\mapsto\exp(i(qx+\hbar(t+pq)/2))\psi(x+\hbar p)

이를 리 대수 \mathfrak h_{2n+1}에 대하여 표기하면 다음과 같다.

P_i\psi(x)=\hbar\frac{\partial}{\partial x_i}\psi(x)
Q_i\psi(x)=ix_i\psi(x)
C\psi(x)=i\hbar\psi(x)

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]