조화 평균

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수학에서 조화 평균(調和平均)은 주어진 수들의 역수산술 평균역수를 말한다. 평균적인 변화율을 구할 때에 주로 사용된다. 실수 a1, ..., an이 주어졌을 때, 조화 평균 H

H = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}

로 주어진다.

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경우에 따라서 조화 평균이 정확한 평균치를 돌려준다. 예를 들어, 전체 거리의 절반을 40km/h의 속도로 달리고, 남은 절반을 60km/h로 달렸다면, 평균 속력은 40과 60의 조화 평균인 48km/h가 된다. 이동하는데 전체 거리를 48 km/h의 속력으로 달린 경우와 같은 시간이 걸렸기 때문이다. (만약 전체 "시간"의 절반씩을 달렸다면, 평균 속력은 산술 평균인 50km/h가 된다.)

두 수의 조화 평균[편집]

두 수가 주어졌을 때, 두 수의 조화 평균은 다음 식으로 간단히 정리된다.

H = \frac {{2} {a_1} {a_2}} {{a_1} + {a_2}}.

이때, 산술 평균

A = \frac {{a_1} + {a_2}} {2}

기하 평균

G = \sqrt {{a_1} \cdot {a_2}}

에 대해 조화 평균은

H = \frac {G^2} {A}

의 관계식이 성립한다.