선형근사

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(a, f(a))에서의 접선

수학에서, 선형근사(線型近似)는 어떤 함수를 선형 함수, 즉 일차 함수로 근사하는 것을 말한다. 아이디어는 그림과 같이 어떤 점 근처를 확대하면 확대할수록 미분 가능한 한 그래프와 그 점에서의 접선은 비슷해진다는 사실로부터 온다.

정의[편집]

미분가능한 함수 f(x)가 있을 때 어떤 점 x=a에서의 접선의 방정식은 y=f(a)+f'(a)(x-a)이다. 이때 근사 f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)fa에서의 선형근사라고 한다. 테일러 정리를 이용하면 f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_2이다. 여기서 R_2=\frac{f''(b)}{2!}(x-a)^2~\left(b\in (a,x)\cup (x,a)\right)이므로 xa 근처일 때 크기가 상당히 작다. 따라서 R_2\approx 0으로 근사한다면 선형근사의 식 f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)를 얻을 수 있다.

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\sqrt{4.01}을 함수 f(x)=\sqrt{x+4}x=0에서의 선형근사를 사용해서 근삿값을 구할 수 있다. f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+4}}이므로 f(0.01)\approx f(0)+f'(0)\times 0.01=\sqrt{4}+\frac{0.01}{4}=2.0025이다. 이는 실제값인 2.00249\dots를 소숫점 다섯째 자리에서 반올림 한 값이다. 즉, 참값에 상당히 근접함을 알 수 있다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

James Stewart (2009). 《Calculus(Metric International Version, 6th Edition)》. Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 0-495-38362-7