선형근사

(a, f(a))에서의 접선

수학에서, 선형근사(線型近似)는 어떤 함수를 선형 함수, 즉 일차 함수로 근사하는 것을 말한다. 아이디어는 그림과 같이 어떤 점 근처를 확대하면 확대할수록 미분 가능한 한 그래프와 그 점에서의 접선은 비슷해진다는 사실로부터 온다.

정의 [편집]

미분가능한 함수 $f(x)$ 가 있을 때 어떤 점 $x=a$ 에서의 접선의 방정식은 $y=f(a)+f'(a)(x-a)$ 이다. 이때 근사 $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$ 를 $f$ 의 $a$ 에서의 선형근사라고 한다. 테일러 정리를 이용하면 $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_2$ 이다. 여기서 $R_2=\frac{f''(b)}{2!}(x-a)^2~\left(b\in (a,x)\cup (x,a)\right)$ 이므로 $x$ 가 $a$ 근처일 때 크기가 상당히 작다. 따라서 $R_2\approx 0$ 으로 근사한다면 선형근사의 식 $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$ 를 얻을 수 있다.

예 [편집]

$\sqrt{4.01}$ 을 함수 $f(x)=\sqrt{x+4}$ 의 $x=0$ 에서의 선형근사를 사용해서 근삿값을 구할 수 있다. $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+4}}$ 이므로 $f(0.01)\approx f(0)+f'(0)\times 0.01$ $=\sqrt{4}+\frac{0.01}{4}=2.0025$ 이다. 이는 실제값인 $2.00249\dots$ 를 소숫점 다섯째 자리에서 반올림 한 값이다. 즉, 참값에 상당히 근접함을 알 수 있다.