연속 함수

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위상수학해석학에서, 연속 함수(連續函數, 문화어: 련속함수, 영어: continuous function)는 정의역의 점의 ‘작은 변화’에 대하여, 치역의 값 역시 작게 변화하는 함수이다.

정의[편집]

점에서의 연속성

위상 공간 사이의 함수 및 점 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 이 조건을 만족시키는 에서 연속(continuous at the point )이라고 한다.

  • 임의의 근방 에 대하여, 근방 가 존재한다.
  • 임의의 그물 에 대하여, 만약 라면 이다.

위상 공간 사이의 함수 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 연속 함수라고 한다.

  • 임의의 열린집합 에 대하여, 원상 열린집합이다.
  • 임의의 닫힌집합 에 대하여, 원상 닫힌집합이다.
  • 의 모든 점에서 연속이다.
  • 임의의 부분 집합 에 대하여, 항상 이다. 여기서 폐포를 일컫는다.
  • 임의의 부분 집합 에 대하여, 항상 이다.

위상 공간 사이의 함수 가 다음 조건을 만족시킨다면, 점렬 연속 함수(點列連續函數, 영어: sequentially continuous function)라고 한다.

  • 임의의 점렬 및 점 에 대하여, 만약 라면 이다.

좌·우 연속성[편집]

어떤 구간 위상 공간 사이의 함수 실수 에 대하여, 다음을 정의하자.

  • 만약 이라면 에서 우연속(영어: right-continuous)이다.
  • 만약 이라면 에서 좌연속(영어: left-continuous)이다.

성질[편집]

위상 공간 , , 및 연속 함수 에 대하여, 그 합성

역시 연속 함수이다.

콤팩트 공간 에서 하우스도르프 공간 으로 가는 모든 연속 함수 닫힌 함수이다. 특히, 함수 에 대하여, 전단사 연속 함수와 위상 동형 사상(즉, 역함수가 연속 함수인 전단사 연속 함수)이 서로 동치이다. 이에 따라 콤팩트 하우스도르프 공간범주균형 범주이다.

두 위상 공간 , 사이의 연속 함수 에 대하여, 다음이 성립한다.

임의의 두 위상 공간 , 사이의 연속 함수는 항상 점렬 연속 함수이다. 만약 제1 가산 공간이라면, 사이의 함수에 대하여 연속 함수와 점렬 연속 함수가 서로 동치이다.

거리 공간에서의 연속 함수[편집]

거리 공간 사이의 함수 및 점 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  • 에서 연속이다.
  • 임의의 양의 실수 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 이 존재한다.
    • 임의의 에 대하여, 만약 라면, 이다.
  • 에서 점렬 연속이다. 즉, 임의의 점렬 에 대하여, 만약 라면 이다.

실수값 연속 함수[편집]

임의의 위상 공간 위의 두 연속 함수

에 대하여, 다음이 성립한다.

  • 는 연속 함수이다.
  • 는 연속 함수이다.
    • 상수 함수는 연속 함수이므로, 만약 가 임의의 실수 라면, 는 연속 함수이다.
  • 만약 모든 에 대하여 이라면, 는 연속 함수이다.

실수 위의 함수[편집]

실수 구간 으로부터 위상 공간 로 가는 함수 및 임의의 실수 에 대하여, 다음이 성립한다.

  • 에서 연속이다.
  • 에서 좌연속이며 우연속이다.

[편집]

실수선에 표준적인 위상을 정의하였을 때, 다음 함수들은 연속 함수이다.

  • 모든 다항식
  • 지수 함수
  • 사인
  • 코사인
  • 절댓값

다음 함수는 연속 함수가 아니다.

  • 부호 함수

참고 문헌[편집]

같이 보기[편집]

외부 링크[편집]