연속 함수

위상수학과 해석학에서, 연속 함수(連續函數, 문화어: 련속함수, 영어: continuous function)는 정의역의 점의 ‘작은 변화’에 대하여, 치역의 값 역시 작게 변화하는 함수이다.

정의[편집]

점에서의 연속성

위상 공간 $X$ 및 $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 및 점 $x\in X$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 이 조건을 만족시키는 $f$ 를 점 $x$ 에서 연속(continuous at the point $x$ )이라고 한다.

임의의 $f(x)$ 의 근방 $V\ni f(x)$ 에 대하여, $f(U)\subseteq V$ 인 $x$ 의 근방 $U\ni x$ 가 존재한다.
임의의 그물 $x_{\alpha }\in X$ 에 대하여, 만약 $x_{\alpha }\to x$ 라면 $f(x_{\alpha })\to f(x)$ 이다.

위상 공간 $X$ 및 $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 연속 함수라고 한다.

임의의 열린집합 $U\subseteq Y$ 에 대하여, 원상 $f^{-1}(U)\subseteq X$ 는 열린집합이다.
임의의 닫힌집합 $C\subseteq Y$ 에 대하여, 원상 $f^{-1}(C)\subseteq X$ 는 닫힌집합이다.
$f$ 는 $X$ 의 모든 점에서 연속이다.
임의의 부분 집합 $A\subseteq X$ 에 대하여, 항상 $f(\operatorname {cl} (A))\subseteq \operatorname {cl} (f(A))$ 이다. 여기서 $\operatorname {cl}$ 은 폐포를 일컫는다.
임의의 부분 집합 $B\subseteq Y$ 에 대하여, 항상 $\operatorname {cl} (f^{-1}(B))\subseteq f^{-1}(\operatorname {cl} B)$ 이다.

위상 공간 $X$ 및 $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $f$ 를 점렬 연속 함수(點列連續函數, 영어: sequentially continuous function)라고 한다.

임의의 점렬 $x_{i}\in X$ 및 점 $x\in X$ 에 대하여, 만약 $x_{i}\to x$ 라면 $f(x_{i})\to f(x)$ 이다.

어떤 구간 $I\subset \mathbb {R}$ 및 위상 공간 $Y$ 사이의 함수 $f\colon I\to Y$ 및 실수 $r\in I$ 에 대하여, 다음을 정의하자.

만약 $\lim _{x\to r^{+}}f(x)=f(r)$ 이라면 $f$ 는 $r$ 에서 우연속(영어: right-continuous)이다.
만약 $\lim _{x\to r^{-}}f(x)=f(r)$ 이라면 $f$ 는 $r$ 에서 좌연속(영어: left-continuous)이다.

위상 공간 $X$ , $Y$ , $Z$ 및 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 및 $g\colon Y\to Z$ 에 대하여, 그 합성

g\circ f\colon X\to Z

역시 연속 함수이다.

콤팩트 공간 $X$ 에서 하우스도르프 공간 $Y$ 으로 가는 모든 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 는 닫힌 함수이다. 특히, 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 전단사 연속 함수와 위상 동형 사상(즉, 역함수가 연속 함수인 전단사 연속 함수)이 서로 동치이다. 이에 따라 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주는 균형 범주이다.

두 위상 공간 $X$ , $Y$ 사이의 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

임의의 두 위상 공간 $X$ , $Y$ 사이의 연속 함수는 항상 점렬 연속 함수이다. 만약 $X$ 가 제1 가산 공간이라면, $X$ 와 $Y$ 사이의 함수에 대하여 연속 함수와 점렬 연속 함수가 서로 동치이다.

두 거리 공간 $(X,d_{X})$ 및 $(Y,d_{Y})$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 및 점 $x\in X$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

$f$ 는 $x$ 에서 연속이다.
임의의 양의 실수 $\epsilon >0$ $\epsilon >0$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 $\delta _{\epsilon }>0$ $\delta _{\epsilon }>0$ 이 존재한다.
- 임의의 $x'\in X$ 에 대하여, 만약 $d_{X}(x,x')<\delta _{\epsilon }$ 라면, $d_{Y}(f(x),f(x'))<\epsilon$ 이다.
$f$ 는 $x$ 에서 점렬 연속이다. 즉, 임의의 점렬 $x_{i}\in X$ 에 대하여, 만약 $x_{i}\to x$ 라면 $f(x_{i})\to f(x)$ 이다.

임의의 위상 공간 $X$ 위의 두 연속 함수

f,g\colon X\to \mathbb {R}

에 대하여, 다음이 성립한다.

$f+g\colon X\to \mathbb {R}$ 는 연속 함수이다.
$fg\colon X\to \mathbb {R}$ $fg\colon X\to {\mathbb R}$ 는 연속 함수이다.
- 상수 함수는 연속 함수이므로, 만약 $g$ 가 임의의 실수 $r$ 라면, $rf\colon X\to \mathbb {R}$ 는 연속 함수이다.
만약 모든 $x\in X$ 에 대하여 $f(x)\neq 0$ 이라면, $1/f$ 는 연속 함수이다.

실수 구간 $I\subset \mathbb {R}$ 으로부터 위상 공간 $Y$ 로 가는 함수 $f\colon I\to Y$ 및 임의의 실수 $r\in I$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

실수선에 표준적인 위상을 정의하였을 때, 다음 함수들은 연속 함수이다.

다음 함수는 연속 함수가 아니다.

부호 함수 $\operatorname {sgn} \colon x\mapsto {\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}}$

“Continuous function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Continuous mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Continuous function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Continuous map”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Piecewise continuous”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.