함수의 극한

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함수 에 대해, 정의역의 원소 가 어떤 값 에 한없이 가까워지면 도 어떤 값 에 한없이 가까워질 때, 함수 일 때 수렴한다고 하고 함수의 극한이라 한다. 이는

일 때

또는 더 간단히

의 형식으로 나타낼 수 있다.

수학적 정의[편집]

일변수 함수의 극한의 정의[편집]

일변수 함수의 극한은 일반적으로 엡실론-델타(ε-δ)에 관한 방법으로 정의한다.

모든 양의 실수 에 대해, 어떤 양의 실수 가 존재하여 일 때 항상 가 성립하면, 이때의 극한값은

로 정의한다.

좌극한과 우극한[편집]

좌극한우극한(영어: left-handed limit, right-handed limit)도 비슷한 방법으로 정의하는데, 이때는 에 대한 조건이 대신, 좌극한의 경우 , 우극한의 경우 가 된다. 좌극한과 우극한은 통틀어서 한쪽극한(영어: one-sided limit)이라고 한다.[1]

예를 들어 함수

의 좌극한과 우극한은 각각 , 이다.

0+0, 0-0의 경우 간단히 +0, -0으로 줄여서 표기하기도 한다. 또는 +0, -0을 줄여 +, -로 표기하기도 한다.

무한대에서의 극한[편집]

가 양의 무한대로 커질 때 에 가까워진다.

가 어떤 유한한 값으로 접근하는 것이 아니라 무한히 커지거나 작아지는 경우에 대해서도 함수의 극한을 정의할 수 있다. 이때의 조건은 모든 양의 실수 에 대해, 어떠한 실수 가 존재하여 (양의 무한대) 또는 (음의 무한대)일 때 항상 가 성립하는 경우이다. 이때 수식으로는 다음과 같이 표시한다.

  • 양의 무한대:
  • 음의 무한대:

발산[편집]

극한값이 존재하지 않는 경우(수렴하지 않는 경우)를 발산한다고 한다. 이때 함숫값이 무한히 커지거나 작아지는 경우에는 특별히 양의 무한대로 발산하거나 음의 무한대로 발산한다고 정의한다. 예를 들어, 의 경우 에 가까워질 때 는 무한히 커지고, 따라서 양의 무한대로 발산한다. 이를 엄밀하게 정의하면 다음과 같다. 모든 양의 실수 에 대해, 어떤 양의 실수 가 존재하여 일 때 항상 가 성립하면, 이때의 극한 값은

로 정의한다. 음의 무한대로 발산할 경우 마찬가지로 모든 음의 실수 에 대해, 어떤 양의 실수 가 존재하여 일 때 항상 가 성립하면, 이때의 극한 값은

로 정의한다.

다변수 함수의 극한의 정의[편집]

이며 열린 집합일 때 의 원소 또는 경계에서 택하고 어떤 근방 을 정의하자. 만약 인 어떤 근방 가 존재하면 그 함수 로 접근할 때 결국 에 속하게 된다 라고 표현한다. 더욱이 모든 근방 에 대하여 함수 로 접근할 때 결국 에 속하게 되면 로 접근할 때 로 접근한다 라고 표현하며 이를 기호로 나타내면 다음과 같다.

또는

만약 로 접근할 때 가 어떤 점으로 접근하지 않는 경우에는 가 존재하지 않는다 고 표현한다.

엡실론-델타 논법을 이용한 정의[편집]

일변수 함수의 극한을 정의했던 비슷한 방식으로 다변수 함수의 극한을 엡실론-델타 논법을 이용하여 정의할 수 있다.

로 정의하고 의 원소 또는 경계에서 택하자. 그렇다면 모든 양의 실수 에 대하여 어떤 양의 실수 가 존재하여 를 만족하는 모든 를 만족한다필요충분조건이다.

증명[편집]

참고: 는 중심이 이고 반지름이 열린 공이다.

필요조건[편집]

양의 실수 을 임의로 잡고, 잡은 에 대해 근방중 중심이 이며 반지름이 열린 공 를 생각하자.
다변수 함수의 극한의 정의에 의하여 로 접근할 때 결국 에 속하게 된다. 즉, 인 어떤 근방 가 존재한다.
근방의 정의에 의하여 를 포함하는 열린 집합이므로 열린 집합의 정의에 의하여 를 만족하는 어떤 양의 실수 가 존재한다.
따라서 이고 열린 공의 정의에 의하여 를 만족하는 모든를 만족한다.
정리하면 모든 양의 실수 에 대하여 어떤 양의 실수 가 존재하여 를 만족하는 모든를 만족하고 이는 엡실론-델타 논법을 이용한 정의이다.
그러므로 다변수 함수의 극한의 정의는 엡실론-델타 논법을 이용한 정의의 필요조건이다.

충분조건[편집]

어떤 근방 을 정의하자. 근방의 정의에 의하여 를 포함하는 열린 집합이므로 열린 집합의 정의에 의하여 를 만족하는 어떤 양의 실수 이 존재한다.
엡실론-델타 논법을 이용한 정의에 의하여 어떤 양의 실수 가 존재하여 를 만족하는 모든를 만족한다.
이때 로 잡아주면 열린 공의 정의에 의하여 이다. 즉, 함수 로 접근할 때 결국 에 속하게 된다.
의 모든 근방 에 대하여 위 명제가 성립하므로 결국 모든 근방 에 대하여 함수 로 접근할 때 결국 에 속하게 되며 이는 다변수 함수의 극한의 정의이다.
그러므로 다변수 함수의 극한으 정의는 엡실론-델타 논법을 이용한 정의의 충분조건이다.

일변수 함수의 극한과 관련된 정리들[편집]

좌극한과 우극한, 극한사이의 관계[편집]

필요충분조건이다.

증명[편집]

간단하게 절댓값을 풀고 묶는 과정이다.

충분조건[편집]

모든 양의 실수 에 대해 을 만족하는 어떤 양의 실수 가 존재한다. 이 때 의 두가지 경우가 존재한다.
첫 번째 경우 이고 두 번째 경우 이다. 따라서 좌극한과 우극한의 정의에 의하여 이다.
그러므로 충분조건이다.

필요조건[편집]

모든 양의 실수 에 대해 를 만족하는 어떤 양의 실수 가 존재한다.
로 잡아주면, 이다. 이때 라면 이다.
마찬가지로 라면 이다. 따라서 극한의 정의에 의하여 이다.
그러므로 필요조건이다.

극한의 성질[편집]

함수의 극한은 다음과 같은 성질을 지닌다.

일 때 :

  1. (단, 는 상수)
  2. (단, 상수)
  3. (단, )

1번과 4번 성질로 인하여 연산자는 선형변환이다. 또한 연산자는 복소켤레와 함께 사칙연산과 완벽하게 교환되는 수학의 몇 안되는 연산자들 중 하나이다.

증명[편집]

함수의 극한의 엄밀한 정의인 엡실론-델타 논법을 이용하면 쉽게 보일 수 있다.

  1. 삼각 부등식에 의하여
    가 성립한다.
    모든 양의 실수 에 대하여 이므로
    인 양의 실수 가 존재한다.
    로 잡아주면 이며 동시에 이므로 위에서 언급한 부등식들을 모두 조함하면 다음과 같다.
    다시 말해 모든 양의 실수 에 대해 어떤 양의 실수 가 존재하여 이다.
    그러므로 극한에 정의에 의하여 이다.
  2. 증명하고자 하는 명제의 결론은 다음과 같다. 모든 양의 실수 에 대하여 어떤 양의 실수 가 존재하여 이다.
    여기서 를 더하고 빼주면 이다.
    삼각 부등식을 사용한다면 이다.
    모든 양의 실수 에 대하여 이므로 를 만족하는 양의 실수 가 존재한다.
    삼각 부등식에 의해 이다.
    로 잡아주면, 이므로 위에서 언급한 부등식들을 모두 조합하면 다음과 같다.
    다시 말해 모든 양의 실수 에 대해 어떤 양의 실수 가 존재하여 이다.
    그러므로 극한에 정의에 의하여 이다.
  3. (단, 는 상수)
    모든 양의 실수 에 대해 어떤 양의 실수 가(아무 양의 실수는 상관이 없다. 여기서는 1로 한다.) 존재하여 이다.
    그러므로 극한에 정의에 의하여 이다.
  4. (단, 상수)
    로 정의하고 2번과 3번 성질을 적용시키자.
    이다.
  5. 로 잡고 1번과 4번 성질을 적용시키자.
    그러므로 이다.
  6. (단, )
    증명하기에 앞서 다음과 같은 보조정리를 증명하자.
    모든 양의 실수 에 대하여이므로 을 만족하는 양의 실수 가 존재한다.
    이라면 삼각 부등식에 의하여 이므로 이다.
    따라서 이다.
    로 잡아주면, 이므로 위에서 언급한 부등식들을 모두 조합하면 다음과 같다.
    다시 말해 모든 양의 실수 에 대하여 어떤 양의 실수 가 존재하여 이다.
    그러므로 극한의 정의에 의하여 이다.
    위에서 증명한 보조정리와 4번 성질을 적용시키자.
    그러므로 이다.

함수와 극한의 대소[편집]

를 포함하는 어떤 개구간 에서 정의된 함수 가 모든 에 대해 일때

이라고 하면 이다.

증명[편집]

귀류법을 이용한다. 결론을 부정하여 이라 가정하자. 극한의 5번째 성질에 의하여 이다. 가정에 의하여 이므로 극한의 정의에 의하여 를 만족하는 어떤 양의 실수 가 존재한다. 어떤 수의 절댓값은 그 수보다 크거나 같으므로 이다. 정리하면 이므로 이는 전제에 대해 모순이다.

그러므로 이다.

샌드위치 정리[편집]

를 포함하는 어떤 개구간 에서 정의된 함수 를 제외한 모든 에 대해 일 때,

이라면 이다.

연속과 극한[편집]

를 포함하는 개구간 에서 정의된 함수 에 대해 일 때 를 포함하는 개구간 에서 정의된 함수 에서 연속이고 의 치역 라면 이다.

증명[편집]

임의의 양의 실수 을 잡자. 함수 에서 연속이므로 정의에 의하여 이다. 극한의 정의를 이용하면 를 만족하는 어떤 양의 실수 이 존재한다. 또한 이므로 을 만족하는 어떤 양의 실수 가 존재한다. 정리하면 모든 양의 실수 에 대해 어떤 양의 실수 가 존재하여 이다.

그러므로 합성함수와 극한의 정의에 의하여 이다.

로피탈의 정리[편집]

를 포함하는 어떤 개구간 에서 정의된 미분가능한 함수 가 있고 를 제외한 의 모든 원소에 대해 이다.

만약 이거나 라면

이다.(단, 우변의 극한이 존재하거나 여야 한다.)

다변수 함수의 극한과 관련된 정리[편집]

극한의 유일성[편집]

이며 열린 집합일 때 의 원소 또는 경계에서 택하자. 만약 이고 라면 이다.

증명[편집]

엡실론-델타 논법을 이용하면 편하다. 귀류법을 이용해 증명하자. 결론을 부정하여 라고 가정하자.

이므로 일 때 을 만족하는 양의 실수 가 존재한다.

로 잡으면 이다. 따라서 이다.

삼각부등식에 의하여 이므로

이는 전체에 대한 모순이다.

그러므로 이다.

극한의 성질[편집]

이며 열린 집합일 때 의 원소 또는 경계에서 택하자. 또 앞으로 나올 이고 이다.

  1. 이면 이다. (함수 로 정의된다.)
  2. 이고 이면 이다. (함수로 정의된다.)
  3. 이고 이고 이면 이다. (함수로 정의된다.)
  4. 이고 이며 모든 에 대하여 이다. (함수로 정의된다.)
  5. 라면 부터 까지 각각 을 만족한다와 필요충분조건이다.
    (함수 은 함수 의 성분함수들이다.)

초월함수의 극한[편집]

삼각함수의 극한[편집]

원의 방정식이 원의 중심이 O(0,0)인 이고 원 위의 두점 P, Q에 대해 각POQ의 크기가 일 때,

1≤
≤1
샌드위치 정리에 의해
==1
일 때, 이면
===1
따라서, =1
===

지수함수의 극한[편집]

무리수 e의 정의는 e==이다.

==1
==
a가 무리수 e일 때,
==

로그함수의 극한[편집]

무리수 e의 정의는 e==이다.

==
==

각주[편집]

참고 문헌[편집]

  • James Stewart (2009). 《Calculus(Metric International Version, 6th Edition)》. Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 0-495-38362-7. 
  • Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0. 
  • Jerrold E. Marsden, Anthony Tromba (2003). “Internet Supplement for Vector Calculus(Fifth Edition)”. 2013년 1월 11일에 확인함.  다음 글자 무시됨: ‘00510’ (도움말); 다음 글자 무시됨: ‘00520’ (도움말); 다음 글자 무시됨: ‘00530’ (도움말); 다음 글자 무시됨: ‘00540’ (도움말); 다음 글자 무시됨: ‘00550’ (도움말); 다음 글자 무시됨: ‘00560’ (도움말); 다음 글자 무시됨: ‘00570’ (도움말); 다음 글자 무시됨: ‘00010’ (도움말); 다음 글자 무시됨: ‘00030’ (도움말); 다음 글자 무시됨: ‘01000’ (도움말); 다음 글자 무시됨: ‘02000’ (도움말); 다음 글자 무시됨: ‘03000’ (도움말); 다음 글자 무시됨: ‘04000’ (도움말); 다음 글자 무시됨: ‘05000’ (도움말); 다음 글자 무시됨: ‘06000’ (도움말); 다음 글자 무시됨: ‘07000’ (도움말); 다음 글자 무시됨: ‘08000’ (도움말); 다음 글자 무시됨: ‘99000’ (도움말); 다음 글자 무시됨: ‘00020’ (도움말);

바깥 고리[편집]