변수 변환

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수학에서, 변수 변환(變數變換, 영어: change of variables)은 어떤 변수(들)로 나타낸 식을 다른 변수(들)로 바꿔 나타내는 기법이다.

다항식에 대한 변수 변환[편집]

다항식의 변수를 다른 변수로 대신하는 기법은 다항 방정식의 근을 구하거나 다항식의 성질을 연구할 때 유용하다.

이러한 변수 변환의 한 가지 예는 다음과 같다. 다항식

에 변수 변환

를 적용하면

가 된다.

무리 방정식의 풀이[편집]

이러한 기법의 한 가지 응용은 다음과 같다. 무리 방정식

의 근을 구하는 과정에서, 변수 변환

를 사용할 수 있다. 이를 대입하여 식을 다시 정리하면 이차 방정식

으로 전환된다. 이 이차 방정식의 근은 인데,

이어야 하므로, 는 무연근이다. 즉, 만을 취한다. 다시

로부터 를 풀면 원래의 무리 방정식의 근 이 나온다.

상반 방정식의 풀이[편집]

상반 방정식의 풀이에서 자주 사용되는 변수 변환은

이다. 예를 들어, 4차 상반 방정식

은 양변을 로 나누면

를 얻으며, 더 정리하면

을 얻는다. 위의 변수 변환은 이를

로 전환시키며, 이로부터 둘 이하의 를 푼 뒤, 다시

에 대입하여 얻는 둘 이하의 방정식으로부터 각각 둘 이하의 을 풀면, 원래의 상반 방정식의 넷 이하의 근을 얻는다.

다항식의 기약성의 판단[편집]

또 한 가지 응용은 다항식

기약 다항식인지를 판단하는 과정에서, 변수 변환

를 사용하는 것이다. 이 변수 변환은 기약 다항식의 기약성과 비기약성을 보존한다. 그러면 이 다항식은 7-아이젠슈타인 다항식

로 전환되므로, 전환된 다항식은 기약 다항식이며, 따라서 원래의 다항식 역시 기약 다항식이다.

적분에서의 변수 변환[편집]

정적분의 변수 변환[편집]

정적분

의 계산에서, 직접적인 계산보다 치환 적분을 통한 계산이 더 간편할 때가 많다. 이 경우에 변수 변환

을 적용한 결과는

이다.

한 가지 구체적인 예는 다음과 같다.

여기서 사용한 변수 변환은

이다.

그 밖에도 삼각 치환 적분 · 쌍곡 치환 적분 · 바이어슈트라스 치환 · 오일러 치환이 사용된다.

중적분의 변수 변환[편집]

중적분

을 변수 변환

에 의하여 계산하는 공식은

이다.

한 가지 예는 다음과 같다.

여기서 사용한 변수 변환은 극좌표 변환

이다.

급수의 변수 변환[편집]

유한 급수의 변수 변환 공식은

이다. 여기서

사이의 일대일 대응이다.

무한 급수의 변수 변환 공식이 성립하려면, 급수가 절대 수렴하여야 한다.

참고 문헌[편집]

  • 丘维声 (2003). 《高等代数》 [고등대수] (중국어) 2 2판. 高等教育出版社. ISBN 978-7-04-011877-3. 

외부 링크[편집]