미적분학에서 삼각 치환(三角置換, 영어: trigonometric substitution)은 변수를 삼각 함수로 치환하여 적분하는 기법이다.
삼각 치환은 다음과 같은 꼴의 함수의 적분을 구하는 데 사용된다.[1]:342

여기서
는 유리 함수이며
이다. 이는
의 완전 제곱꼴의 분류이다. 삼각 치환은
를 새 변수에 대한 삼각 함수(의 상수배)로 치환한 뒤 삼각 항등식을 통해 제곱근식을 소거한다. 각 경우에 사용되는 치환은 다음과 같다.[2]:533[3]:51
적분
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치환
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항등식
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새 변수
의 범위를 각각 아크사인, 아크탄젠트, 아크시컨트의 치역으로 정한 것은 각 치환을 단사로 만들기 위함이다.[2]:533 쌍곡 치환은 삼각 치환 대신에 쓰일 수 있다.[1]:342[4]:482
이 들어간 적분
[편집]

에 대한 삼각 함수를 다시
로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.
다음과 같은 적분을 구하자.[3]:49, Example 1[5]:249, 例6.2.8

여기서
이다. 다음과 같은 삼각 치환을 사용하자.

그러면 다음을 얻는다.
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(치환)
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(단순화)
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(적분)
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(재치환)
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이 적분은
와 같은 치환과 아크사인의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.[5]:252, 例6.2.14
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(치환)
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(삼각 항등식)
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(적분)
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(삼각 항등식)
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(재치환)
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(단순화)
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이 적분은 부분 적분을 통해서도 구할 수 있다.
이 들어간 적분
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에 대한 삼각 함수를 다시
로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.
다음을 구하자.[3]:48, Example 1

여기서
이다. 다음을 사용하자.

그러면 다음을 얻는다.
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(치환)
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(단순화)
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(적분)
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(재치환)
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이 적분은 치환
및 아크탄젠트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.[5]:253, 例6.2.16
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(치환)
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(단순화)
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(변형)
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(치환)
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(적분)
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(삼각 항등식)
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(삼각 항등식)
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(재치환)
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(적분 상수 재정의)
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이 적분은 쌍곡 치환
을 통해서도 구할 수 있다.
이 들어간 적분
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에 대한 삼각 함수를 다시
로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.
편의상
이라고 하고 다음을 구하자.[3]:50, Example 1

여기서
이다. 다음을 사용하자.

그러면 다음을 얻는다.
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(치환)
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(단순화)
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(적분)
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(재치환)
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이 적분은 치환
및 아크시컨트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.[5]:253, 例6.2.15
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(치환)
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(단순화)
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(적분)
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(재치환)
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(적분 상수 재정의)
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이 적분은 쌍곡 치환
를 통해서도 구할 수 있다.
다음과 같은 적분을 구하자.[2]:536, Example 4

다음을 사용하자.

만약
일 경우
이므로
이며, 만약
일 경우
이므로
이다. 따라서 다음이 성립한다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\sqrt {3}}^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-3}}{x}}\mathrm {d} x&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\pi /6}\tan ^{2}\theta \mathrm {d} \theta \\&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\pi /6}(\sec ^{2}\theta -1)\mathrm {d} \theta \\&={\sqrt {3}}{\bigg [}\tan \theta -\theta {\bigg ]}_{0}^{\pi /6}\\&=1-{\frac {{\sqrt {3}}\pi }{6}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f1ada3e857bb1e92f4b1fb8dea727d9f1832cb4)