미적분학에서 삼각 치환(三角置換, 영어: trigonometric substitution)은 변수를 삼각 함수로 치환하여 적분하는 기법이다.
삼각 치환은 다음과 같은 꼴의 함수의 적분을 구하는 데 사용된다.[1]:342
![{\displaystyle R(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}),\;R(x,{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}),\;R(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76afc55ba5d7e2e76ae01500954f1fa7d7c4b4e1)
여기서
는 유리 함수이며
이다. 이는
의 완전 제곱꼴의 분류이다. 삼각 치환은
를 새 변수에 대한 삼각 함수(의 상수배)로 치환한 뒤 삼각 항등식을 통해 제곱근식을 소거한다. 각 경우에 사용되는 치환은 다음과 같다.[2]:533[3]:51
적분
|
치환
|
항등식
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
새 변수
의 범위를 각각 아크사인, 아크탄젠트, 아크시컨트의 치역으로 정한 것은 각 치환을 단사로 만들기 위함이다.[2]:533 쌍곡 치환은 삼각 치환 대신에 쓰일 수 있다.[1]:342[4]:482
이 들어간 적분[편집]
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fe/Trig_Sub_Triangle_1.png/220px-Trig_Sub_Triangle_1.png)
에 대한 삼각 함수를 다시
로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.
다음과 같은 적분을 구하자.[3]:49, Example 1[5]:249, 例6.2.8
![{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189fbc8d3de3e136101c39c8a5bf69d8bac0f42f)
여기서
이다. 다음과 같은 삼각 치환을 사용하자.
![{\displaystyle x=a\sin \theta ,\;{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=a\cos \theta ,\;\mathrm {d} x=a\cos \theta \mathrm {d} \theta ,\;\theta =\arcsin {\frac {x}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c416d7e7f81221cbf4947dfb241244c26d9974)
그러면 다음을 얻는다.
|
|
(치환)
|
|
|
(단순화)
|
|
|
(적분)
|
|
|
(재치환)
|
이 적분은
와 같은 치환과 아크사인의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.[5]:252, 例6.2.14
|
|
(치환)
|
|
|
(삼각 항등식)
|
|
|
(적분)
|
|
|
(삼각 항등식)
|
|
|
(재치환)
|
|
|
(단순화)
|
이 적분은 부분 적분을 통해서도 구할 수 있다.
이 들어간 적분[편집]
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e9/Trig_Sub_Triangle_2.png/220px-Trig_Sub_Triangle_2.png)
에 대한 삼각 함수를 다시
로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.
다음을 구하자.[3]:48, Example 1
![{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{a^{2}+x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97f0595400210b09dbd7506259d5ec9d0b923d8d)
여기서
이다. 다음을 사용하자.
![{\displaystyle x=a\tan \theta ,\;{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}=a\sec \theta ,\;\mathrm {d} x=a\sec ^{2}\theta \mathrm {d} \theta ,\;\theta =\arctan {\frac {x}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eac782fbd436a0a026101631ad67e358d2140d79)
그러면 다음을 얻는다.
|
|
(치환)
|
|
|
(단순화)
|
|
|
(적분)
|
|
|
(재치환)
|
이 적분은 치환
및 아크탄젠트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.[5]:253, 例6.2.16
|
|
(치환)
|
|
|
(단순화)
|
|
|
(변형)
|
|
|
(치환)
|
|
|
(적분)
|
|
|
(삼각 항등식)
|
|
|
(삼각 항등식)
|
|
|
(재치환)
|
|
|
(적분 상수 재정의)
|
이 적분은 쌍곡 치환
을 통해서도 구할 수 있다.
이 들어간 적분[편집]
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8b/Trig_Sub_Triangle_3.png/220px-Trig_Sub_Triangle_3.png)
에 대한 삼각 함수를 다시
로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.
편의상
이라고 하고 다음을 구하자.[3]:50, Example 1
![{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a435a6071800cc4c1b0cc33919d7ea6f7ad63717)
여기서
이다. 다음을 사용하자.
![{\displaystyle x=a\sec \theta ,\;{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}=a|\tan \theta |,\;\mathrm {d} x=a\sec \theta \tan \theta \mathrm {d} \theta ,\;\theta =\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/251b5647d3f23885604d42752f663725c4bafda5)
그러면 다음을 얻는다.
|
|
(치환)
|
|
|
(단순화)
|
|
|
(적분)
|
|
|
(재치환)
|
이 적분은 치환
및 아크시컨트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.[5]:253, 例6.2.15
|
|
(치환)
|
|
|
(단순화)
|
|
|
(적분)
|
|
|
(재치환)
|
|
|
(적분 상수 재정의)
|
이 적분은 쌍곡 치환
를 통해서도 구할 수 있다.
정적분[편집]
다음과 같은 적분을 구하자.[2]:536, Example 4
![{\displaystyle \int _{\sqrt {3}}^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-3}}{x}}\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4d3f191088412febf0a0ed0d42bd5d529141114)
다음을 사용하자.
![{\displaystyle x={\sqrt {3}}\sec \theta ,\;{\sqrt {x^{2}-3}}={\sqrt {3}}\tan \theta ,\;\mathrm {d} x={\sqrt {3}}\sec \theta \tan \theta ,\;\theta =\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd9128400dd6b0c18a2b3ea217ab5f17ff6c009)
만약
일 경우
이므로
이며, 만약
일 경우
이므로
이다. 따라서 다음이 성립한다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\sqrt {3}}^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-3}}{x}}\mathrm {d} x&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\pi /6}\tan ^{2}\theta \mathrm {d} \theta \\&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\pi /6}(\sec ^{2}\theta -1)\mathrm {d} \theta \\&={\sqrt {3}}{\bigg [}\tan \theta -\theta {\bigg ]}_{0}^{\pi /6}\\&=1-{\frac {{\sqrt {3}}\pi }{6}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f1ada3e857bb1e92f4b1fb8dea727d9f1832cb4)
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]