삼각 치환

연속 기획
미적분학
미적분학의 기본정리 함수의 극한 연속 함수 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의 미분 일반화 무한소 주요 부분 전미분 개념 미분 표기법 고계 도함수 변수 변환 테일러 정리 법칙과 항등식 합의 법칙 곱의 법칙 몫의 법칙 멱의 법칙 연쇄 법칙 역함수의 미분 음함수의 미분
적분 적분표 정의 부정적분 적분 (이상적분) 리만 적분 르베그 적분 경로적분 적분법 부분적분 디스크 방법 원통셸 방법 치환적분 (삼각 치환) 부분분수 적분법 적분 순서 재귀식 적분
수열과 급수 기하급수 (산술-기하 수열) 조화급수 교대급수 멱급수 이항급수 테일러 급수 수렴판정법 일반항 판정법 비판정법 근판정법 적분판정법 비교판정법 극한비교판정법 교대급수판정법 코시 응집판정법 디리클레 판정법 아벨 판정법
벡터 미적분학 기울기 발산 회전 라플라시안 방향도함수 벡터 미적분표 정리 발산정리 기울기정리 그린 정리 켈빈-스토크스 정리
다변수 미적분학 형식 행렬 텐서 외미분 기하 정의 편미분 중적분 선적분 면적분 삼중적분 야코비안 헤세 행렬
특수한 경우 분수차 미적분 말리아빈 미적분 확률미적분학 변분법

미적분학에서, 삼각 치환(三角置換, 영어: trigonometric substitution)은 변수를 삼각 함수로 치환하여 적분하는 기법이다.

정의

삼각 치환은 다음과 같은 꼴의 함수의 적분을 구하는 데 사용된다.^:342

$R(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}),\;R(x,{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}),\;R(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})$

여기서 $R$는 유리 함수이며 $a>0$이다. 이는 $R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})$의 완전 제곱꼴의 분류이다. 삼각 치환은 $x$를 새 변수에 대한 삼각 함수(의 상수배)로 치환한 뒤 삼각 항등식을 통해 제곱근식을 소거한다. 각 경우에 사용되는 치환은 다음과 같다.^:533:51

적분	치환				항등식
$\int R(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})\mathrm {d} x$	$x=a\sin \theta$	$-\pi /2\leq \theta \leq \pi /2$	${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=a\cos \theta$	$\mathrm {d} x=a\cos \theta \mathrm {d} \theta$	$1-\sin ^{2}\theta =\cos ^{2}\theta$
	$x=a\cos \theta$	$0\leq \theta \leq \pi$	${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=a\sin \theta$	$\mathrm {d} x=-a\sin \theta \mathrm {d} \theta$	$1-\cos ^{2}\theta =\sin ^{2}\theta$
$\int R(x,{\sqrt {a^{2}+x^{2}}})\mathrm {d} x$	$x=a\tan \theta$	$-\pi /2<\theta <\pi /2$	${\sqrt {a^{2}+x^{2}}}=a\sec \theta$	$\mathrm {d} x=a\sec ^{2}\theta \mathrm {d} \theta$	$1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta$
	$x=a\cot \theta$	$0<\theta <\pi$	${\sqrt {a^{2}+x^{2}}}=a\csc \theta$	$\mathrm {d} x=-a\csc ^{2}\theta \mathrm {d} \theta$	$1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$
$\int R(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})\mathrm {d} x$	$x=a\sec \theta$	$0\leq \theta \leq \pi \land \theta \neq \pi /2$	${\sqrt {x^{2}-a^{2}}}={\begin{cases}a\tan \theta &x>a\land 0\leq \theta <\pi /2\\-a\tan \theta &x<-a\land \pi /2<\theta \leq \pi \end{cases}}$	$\mathrm {d} x=a\sec \theta \tan \theta \mathrm {d} \theta$	$\sec ^{2}\theta -1=\tan ^{2}\theta$
	$x=a\csc \theta$	$-\pi /2\leq \theta \leq \pi /2\land \theta \neq 0$	${\sqrt {x^{2}-a^{2}}}={\begin{cases}a\cot \theta &x>a\land 0<\theta \leq \pi /2\\-a\cot \theta &x<-a\land -\pi /2\leq \theta <0\end{cases}}$	$\mathrm {d} x=-a\csc \theta \cot \theta \mathrm {d} \theta$	$\csc ^{2}\theta -1=\cot ^{2}\theta$

새 변수 $\theta$의 범위를 각각 아크사인, 아크탄젠트, 아크시컨트의 치역으로 정한 것은 각 치환을 단사로 만들기 위함이다.^:533 쌍곡 치환은 삼각 치환 대신에 쓰일 수 있다.^:342:482

예

${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$이 들어간 적분

$\theta$에 대한 삼각 함수를 다시 $x$로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.

다음과 같은 적분을 구하자.^{:49, Example 1:249, 예6.2.8}

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$

여기서 $a>0$이다. 다음과 같은 삼각 치환을 사용하자.

$x=a\sin \theta ,\;{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=a\cos \theta ,\;\mathrm {d} x=a\cos \theta \mathrm {d} \theta ,\;\theta =\arcsin {\frac {x}{a}}$

그러면 다음을 얻는다.

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$	$=\int {\frac {a\cos \theta \mathrm {d} \theta }{a\cos \theta }}$	(치환)
	$=\int \mathrm {d} \theta$	(단순화)
	$=\theta +C$	(적분)
	$=\arcsin {\frac {x}{a}}+C$	(재치환)

이 적분은 $x/a=t$와 같은 치환과 아크사인의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.^{:252, 예6.2.14}

$\int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\mathrm {d} x$	$=\int a^{2}\cos ^{2}\theta \mathrm {d} \theta$	(치환)
	$=\int {\frac {a^{2}}{2}}(1+\cos 2\theta )\mathrm {d} \theta$	(삼각 항등식)
	$={\frac {a^{2}}{2}}\theta +{\frac {a^{2}}{4}}\sin 2\theta +C$	(적분)
	$={\frac {a^{2}}{2}}\theta +{\frac {a^{2}}{2}}\sin \theta \cos \theta +C$	(삼각 항등식)
	$={\frac {a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {a^{2}}{2}}\cdot {\frac {x}{a}}\cdot {\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{a}}+C$	(재치환)
	$={\frac {a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {1}{2}}x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C$	(단순화)

이 적분은 부분 적분을 통해서도 구할 수 있다.

${\sqrt {a^{2}+x^{2}}}$이 들어간 적분

$\theta$에 대한 삼각 함수를 다시 $x$로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.

다음을 구하자.^{:48, Example 1}

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{a^{2}+x^{2}}}$

여기서 $a>0$이다. 다음을 사용하자.

$x=a\tan \theta ,\;{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}=a\sec \theta ,\;\mathrm {d} x=a\sec ^{2}\theta \mathrm {d} \theta ,\;\theta =\arctan {\frac {x}{a}}$

그러면 다음을 얻는다.

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{a^{2}+x^{2}}}$	$=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \mathrm {d} \theta }{a^{2}\sec ^{2}\theta }}$	(치환)
	$=\int {\frac {1}{a}}\mathrm {d} \theta$	(단순화)
	$={\frac {\theta }{a}}+C$	(적분)
	$={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C$	(재치환)

이 적분은 치환 $x/a=t$ 및 아크탄젠트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.^{:253, 예6.2.16}

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}$	$=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \mathrm {d} \theta }{a\sec \theta }}$	(치환)
	$=\int {\frac {\mathrm {d} \theta }{\cos \theta }}$	(단순화)
	$=\int {\frac {\cos \theta \mathrm {d} \theta }{\cos ^{2}\theta }}$	(변형)
	$=\int {\frac {\mathrm {d} (\sin \theta )}{1-\sin ^{2}\theta }}$	(치환)
	$={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right|+C$	(적분)
	$={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\sin \theta }{\cos \theta }}\right|^{2}+C$	(삼각 항등식)
	$=\ln \left|\sec \theta +\tan \theta \right|+C$	(삼각 항등식)
	$=\ln \left|{\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{a}}+{\frac {x}{a}}\right|+C$	(재치환)
	$=\ln \left|x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\right|+C$	(적분 상수 재정의)

이 적분은 쌍곡 치환 $x=a\sinh t$을 통해서도 구할 수 있다.

${\sqrt {x^{2}-a^{2}}}$이 들어간 적분

$\theta$에 대한 삼각 함수를 다시 $x$로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.

편의상 $x>0$이라고 하고 다음을 구하자.^{:50, Example 1}

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}}$

여기서 $a>0$이다. 다음을 사용하자.

$x=a\sec \theta ,\;{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}=a|\tan \theta |,\;\mathrm {d} x=a\sec \theta \tan \theta \mathrm {d} \theta ,\;\theta =\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}$

그러면 다음을 얻는다.

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}}$	$=\int {\frac {a\sec \theta \tan \theta \mathrm {d} \theta }{a^{2}\sec \theta |\tan \theta |}}$	(치환)
	$={\begin{cases}\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} \theta }{a}}&x>a\\\displaystyle -\int {\frac {\mathrm {d} \theta }{a}}&x<-a\end{cases}}$	(단순화)
	$={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\theta }{a}}+C&x>a\\\displaystyle -{\frac {\theta }{a}}+C'&x<-a\end{cases}}$	(적분)
	$={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{a}}\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}+C&x>a\\\displaystyle -{\frac {1}{a}}\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}+C'&x<-a\end{cases}}$	(재치환)

이 적분은 치환 $x/a=t$ 및 아크시컨트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.^{:253, 예6.2.15}

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$	$=\int {\frac {a\sec \theta \tan \theta \mathrm {d} \theta }{a|\tan \theta |}}$	(치환)
	$={\begin{cases}\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} \theta }{\cos \theta }}&x>a\\\displaystyle -\int {\frac {\mathrm {d} \theta }{\cos \theta }}&x<-a\end{cases}}$	(단순화)
	$={\begin{cases}\displaystyle \ln |\sec \theta +\tan \theta |+C&x>a\\\displaystyle -\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C'&x<-a\end{cases}}$	(적분)
	$={\begin{cases}\displaystyle \ln \left|{\frac {x}{a}}+{\frac {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}{a}}\right|+C&x>a\\\displaystyle -\ln \left|{\frac {x}{a}}+{\frac {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}{a}}\right|+C'&x<-a\end{cases}}$	(재치환)
	$={\begin{cases}\displaystyle \ln |x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}|+C&x>a\\\displaystyle -\ln |x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}|+C'&x<-a\end{cases}}$	(적분 상수 재정의)

이 적분은 쌍곡 치환 $x=a\cosh t$를 통해서도 구할 수 있다.

정적분

다음과 같은 적분을 구하자.^{:536, Example 4}

$\int _{\sqrt {3}}^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-3}}{x}}\mathrm {d} x$

다음을 사용하자.

$x={\sqrt {3}}\sec \theta ,\;{\sqrt {x^{2}-3}}={\sqrt {3}}\tan \theta ,\;\mathrm {d} x={\sqrt {3}}\sec \theta \tan \theta ,\;\theta =\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}$

만약 $x={\sqrt {3}}$일 경우 $\cos \theta =1$이므로 $\theta =0$이며, 만약 $x=2$일 경우 $\cos \theta ={\sqrt {3}}/2$이므로 $\theta =\pi /6$이다. 따라서 다음이 성립한다.

${\begin{aligned}\int _{\sqrt {3}}^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-3}}{x}}\mathrm {d} x&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\pi /6}\tan ^{2}\theta \mathrm {d} \theta \\&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\pi /6}(\sec ^{2}\theta -1)\mathrm {d} \theta \\&={\sqrt {3}}{\bigg [}\tan \theta -\theta {\bigg ]}_{0}^{\pi /6}\\&=1-{\frac {{\sqrt {3}}\pi }{6}}\end{aligned}}$

같이 보기

• 바이어슈트라스 치환

외부 링크

• 이철희. “삼각치환”. 《수학노트》. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Trigonometric substitution”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.