삼각 치환
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미적분학 |
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미적분학에서, 삼각 치환(三角置換, 영어: trigonometric substitution)은 변수를 삼각 함수로 치환하여 적분하는 기법이다.
정의[편집]
삼각 치환은 다음과 같은 꼴의 함수의 적분을 구하는 데 사용된다.[1]
여기서 는 유리 함수이며 이다. 이는 의 완전 제곱꼴의 분류이다. 삼각 치환은 를 새 변수에 대한 삼각 함수(의 상수배)로 치환한 뒤 삼각 항등식을 통해 제곱근식을 소거한다. 각 경우에 사용되는 치환은 다음과 같다.[2][3]
적분 | 치환 | 항등식 | |||
---|---|---|---|---|---|
새 변수 의 범위를 각각 아크사인, 아크탄젠트, 아크시컨트의 치역으로 정한 것은 각 치환을 단사로 만들기 위함이다.[2] 쌍곡 치환은 삼각 치환 대신에 쓰일 수 있다.[1][4]
예[편집]
이 들어간 적분[편집]
여기서 이다. 다음과 같은 삼각 치환을 사용하자.
그러면 다음을 얻는다.
(치환) (단순화) (적분) (재치환)
이 적분은 와 같은 치환과 아크사인의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.[5]
(치환) (삼각 항등식) (적분) (삼각 항등식) (재치환) (단순화)
이 적분은 부분 적분을 통해서도 구할 수 있다.
이 들어간 적분[편집]
다음을 구하자.[3]
여기서 이다. 다음을 사용하자.
그러면 다음을 얻는다.
(치환) (단순화) (적분) (재치환)
이 적분은 치환 및 아크탄젠트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.[5]
(치환) (단순화) (변형) (치환) (적분) (삼각 항등식) (삼각 항등식) (재치환) (적분 상수 재정의)
이 적분은 쌍곡 치환 을 통해서도 구할 수 있다.
이 들어간 적분[편집]
편의상 이라고 하고 다음을 구하자.[3]
여기서 이다. 다음을 사용하자.
그러면 다음을 얻는다.
(치환) (단순화) (적분) (재치환)
이 적분은 치환 및 아크시컨트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.[5]
(치환) (단순화) (적분) (재치환) (적분 상수 재정의)
이 적분은 쌍곡 치환 를 통해서도 구할 수 있다.
정적분[편집]
다음과 같은 적분을 구하자.[2]
다음을 사용하자.
만약 일 경우 이므로 이며, 만약 일 경우 이므로 이다. 따라서 다음이 성립한다.
같이 보기[편집]
각주[편집]
- ↑ 가 나 周民强 (2010). 《数学分析习题演练. 第一册》 (중국어) 2판. 北京: 科学出版社. ISBN 978-7-03-028183-8.
- ↑ 가 나 다 Larson, Ron; Edwards, Bruce (2013). 《Calculus: Early Transcendental Functions》 (영어) 6판. Boston, MA: Cengage Learning. ISBN 978-1-285-77477-0. LCCN 2013949101.
- ↑ 가 나 다 라 Gunther, Charles O.; Webb, J. Burkitt (1907). 《Integration by trigonometric and imaginary substitution》 (영어). New York: D. Van Nostrand company. LCCN 07040021.
- ↑ Stewart, James (2011). 《Single Variable Calculus: Early Transcendentals》 (영어) 7판. Belmont, CA: Cengage Learning. ISBN 978-0-538-49867-8. LCCN 2010936598.
- ↑ 가 나 다 라 伍胜健 (2009년 8월). 《数学分析. 第一册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8.
외부 링크[편집]
- 이철희. “삼각치환”. 《수학노트》.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Trigonometric substitution”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.