아벨 판정법

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아벨 판정법(Abel's test)은 닐스 헨리크 아벨의 이름이 붙은 무한급수수렴판정법으로, 대략 수렴급수에게 단조 유계 '가중치'를 줘도 수렴한다고 서술한다.

서술[편집]

실수\{a_n\}, \{b_n\}이 만약

를 만족하면, \textstyle \sum_{n=1}^{\infty} a_nb_n도 수렴한다.[1]

증명[1][편집]

\textstyle S_n = \sum_{k=1}^n b_k이라고 하자. \textstyle \left\{\sum_{n=1}^{\infty} a_nb_n \right\}코시 수열임을 보이는 것으로 충분하다. 아벨 변환

\sum_{k=n+1}^{n+p} a_kb_k = a_{n+p}(S_{n+p} - S_n) - \sum_{k=n+1}^{n+p-1}(a_{k+1} - a_k)(S_k - S_n)

에 의해

\left|\sum_{k=n+1}^{n+p} a_kb_k\right| \le |a_{n+p}||S_{n+p} - S_n| - \sum_{k=n+1}^{n+p-1}|a_{k+1} - a_k||S_k - S_n|

또한 임의의 \varepsilon > 0에 대해, 어떤 N이 있어 임의의 n > N에 대해

  • |a_n| \le 2|a| ( aa_n의 극한)
  • |S_k - S_n| \le \varepsilon ' ( S_n이 코시 수열임에 따른 것. 6|a|\varepsilon ' < \varepsilon )

따라서 임의의 n+p > n+1 > N에 대해

\begin{align}
\left|\sum_{k=n+1}^{n+p} a_kb_k\right|
& \le |a_{n+p}| \varepsilon ' + |a_{n+1} - a_{n+p}| \varepsilon ' \\
& \le 2|a| \varepsilon ' + 4|a| \varepsilon ' \\
& < \varepsilon
\end{align}

이로써 \textstyle \sum_{n=1}^{\infty} a_nb_n의 부분합은 코시 수열이며, 급수는 수렴한다.

이상적분[편집]

함수 f,g: [a, +\infty) \to \R에 대해, 만약

  • f[a, +\infty)에서 단조 유계이고,
  • \textstyle \int_a^{\infty} g(x) \,dx가 수렴

한다면, 이상적분 \textstyle \int_a^{\infty} f(x)g(x) \,dx는 수렴한다.

균등수렴[편집]

함수열 f_n, g_n: D \to \R이 만약

  • f_n(x) \le f_{n+1}(x)이 임의의 자연수 nx \in D에 대해 성립하고,
  • |f_n(x)| \le M이 임의의 자연수 nx \in D에 대해 성립하고,
  • \textstyle \sum_{n=1}^{\infty}g_n(x)균등수렴

한다면, 함수항급수 \textstyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)g_n(x)는 균등수렴한다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. 181쪽. ISBN 978-8-96-105054-8. 

참고 문헌[편집]

  • 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8.