아벨 판정법

아벨 판정법(Abel's test)은 닐스 헨리크 아벨의 이름이 붙은 무한급수의 수렴판정법으로, 대략 수렴급수에게 단조 유계 '가중치'를 줘도 수렴한다고 서술한다.

서술

실수열 $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$이 만약

• $a_{n}$ 단조 유계
• $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ 수렴

를 만족하면, $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$도 수렴한다.^:181

증명

$\textstyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}$이라고 하자. $\textstyle \left\{\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}\right\}$이 코시 수열임을 보이는 것으로 충분하다. 아벨 변환

$\sum _{k=n+1}^{n+p}a_{k}b_{k}=a_{n+p}(S_{n+p}-S_{n})-\sum _{k=n+1}^{n+p-1}(a_{k+1}-a_{k})(S_{k}-S_{n})$

에 의해

$\left|\sum _{k=n+1}^{n+p}a_{k}b_{k}\right|\leq |a_{n+p}||S_{n+p}-S_{n}|+\sum _{k=n+1}^{n+p-1}|a_{k+1}-a_{k}||S_{k}-S_{n}|$

또한 임의의 $\varepsilon >0$에 대해, 어떤 $N$이 있어 임의의 $n>N$에 대해

• $|a_{n}|\leq 2|a|$ ( $a$는 $a_{n}$의 극한)

• $|S_{k}-S_{n}|\leq \varepsilon '$ ( $S_{n}$이 코시 수열임에 따른 것. $6|a|\varepsilon '<\varepsilon$ )

따라서 임의의 $n+p>n+1>N$에 대해

${\begin{aligned}\left|\sum _{k=n+1}^{n+p}a_{k}b_{k}\right|&\leq |a_{n+p}|\varepsilon '+|a_{n+1}-a_{n+p}|\varepsilon '\\&\leq 2|a|\varepsilon '+4|a|\varepsilon '\\&<\varepsilon \end{aligned}}$

이로써 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$의 부분합은 코시 수열이며, 급수는 수렴한다.

이상적분

함수 $f,g:[a,+\infty )\to \mathbb {R}$에 대해, 만약

• $f$가 $[a,+\infty )$에서 단조 유계이고,

• $\textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)\,dx$가 수렴

한다면, 이상적분 $\textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,dx$는 수렴한다.

균등수렴

함수열 $f_{n},g_{n}:D\to \mathbb {R}$이 만약

• $f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)$이 임의의 자연수 $n$과 $x\in D$에 대해 성립하고,
• $|f_{n}(x)|\leq M$이 임의의 자연수 $n$과 $x\in D$에 대해 성립하고,
• $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }g_{n}(x)$이 균등수렴

한다면, 함수항급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)g_{n}(x)$는 균등수렴한다.

같이 보기

• 아벨 변환
• 디리클레 판정법