아벨 판정법

미적분학에서 아벨 판정법(영어: Abel's test)은 급수의 수렴 판정법의 하나다. 이에 따르면, 수렴급수에 단조 유계 수열을 이루는 계수를 붙여도 수렴한다.

정의

실수 항 급수

두 실수 수열 $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$, $(b_{n})_{n=0}^{\infty }$이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

• 급수 $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$은 수렴한다.
• $(b_{n})_{n=0}^{\infty }$은 단조수열이자 유계 수열이다.

아벨 판정법에 따르면, 급수

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}$

역시 수렴한다.

증명 (디리클레 판정법을 통한 증명):

$(b_{n})_{n=0}^{\infty }$은 단조수열 유계 수열이므로, 어떤 실수로 수렴한다.

$b=\lim _{n\to \infty }b_{n}\in \mathbb {R}$

라고 하자. $(b_{n}-b)_{n=0}^{\infty }$는 단조수열이며, 0으로 수렴한다. 또한, 급수

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

이 수렴하므로, 부분합이 유계 수열이다. 디리클레 판정법에 의하여, 급수

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(b_{n}-b)$

는 수렴한다. 따라서, 급수

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(b_{n}-b)+b\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

역시 수렴한다.

증명 (직접적인 증명):

$S_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\qquad (\forall n\in \mathbb {N} )$

$b=\lim _{n\to \infty }b_{n}\in \mathbb {R}$

라고 하자. 임의의 $\epsilon >0$에 대하여,

$|b_{n}|\leq 2|b|\qquad (\forall n>N(\epsilon ))$

$|S_{m}-S_{n}|<{\frac {\epsilon }{6|b|+1}}\qquad (\forall m,n>N(\epsilon ))$

인 자연수 $N(\epsilon )\in \mathbb {N}$이 존재한다. 아벨 변환에 의하여, 임의의 $n\geq N(\epsilon )$ 및 임의의 $p\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\begin{aligned}\left|\sum _{k=n+1}^{n+p}a_{k}b_{k}\right|&=\left|b_{n+p}(S_{n+p}-S_{n})+\sum _{k=n+1}^{n+p-1}(b_{k}-b_{k+1})(S_{k}-S_{n})\right|\\&\leq |b_{n+p}||S_{n+p}-S_{n}|+\sum _{k=n+1}^{n+p-1}|b_{k}-b_{k+1}||S_{k}-S_{n}|\\&\leq {\frac {\epsilon }{6|b|+1}}\left(|b_{n+p}|+\sum _{k=n+1}^{n+p-1}|b_{k}-b_{k+1}|\right)\\&={\frac {\epsilon }{6|b|+1}}\left(|b_{n+p}|+\left|\sum _{k=n+1}^{n+p-1}(b_{k}-b_{k+1})\right|\right)\\&={\frac {\epsilon }{6|b|+1}}(|b_{n+p}|+|b_{n+1}-b_{n+p}|)\\&\leq {\frac {\epsilon }{6|b|+1}}(2|b_{n+p}|+|b_{n+1}|)\\&\leq {\frac {\epsilon }{6|b|+1}}\cdot 3\cdot 2|b|\\&<\epsilon \end{aligned}}$

즉, 급수

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}$

의 부분합은 코시 수열이다. 따라서 이 급수는 수렴한다.

이상 적분

실수 값 함수 $f\colon [a,\infty )\to \mathbb {R}$가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

• $f$는 임의의 $[a,b]\subseteq [a,\infty )$에서 리만 적분 가능하며, 또한 이상 적분 $\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx$는 수렴한다.
• $g$는 단조함수이자 유계 함수이다.

그렇다면, 이상 적분

$\int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,dx$

는 수렴한다.

증명 (디리클레 판정법을 통한 증명):

$g\colon [a,\infty )\to \mathbb {R}$가 단조 유계 함수이므로, 극한

$g(\infty )=\lim _{x\to \infty }g(x)\in \mathbb {R}$

가 존재한다. 함수 $x\mapsto g(x)-g(\infty )$는 단조함수이며, 0으로 수렴한다. 이상 적분

$\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx$

가 수렴하므로,

$x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt$

는 유계 함수이다. 이상 적분에 대한 디리클레 판정법에 의하여, 이상 적분

$\int _{a}^{\infty }f(x)(g(x)-g(\infty ))\,dx$

는 수렴한다. 따라서, 이상 적분

$\int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,dx=\int _{a}^{\infty }f(x)(g(x)-g(\infty ))\,dx+g(\infty )\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx$

역시 수렴한다.

증명 (직접적인 증명):

$g(\infty )=\lim _{x\to \infty }g(x)\in \mathbb {R}$

이라고 하자. 임의의 $\epsilon >0$에 대하여,

$|g(x)|<2|g(\infty )|\qquad (\forall x>N(\epsilon ))$

$\left|\int _{x}^{y}f(t)\,dt\right|<{\frac {\epsilon }{4|g(\infty )|+1}}\qquad (\forall y>x>N(\epsilon ))$

인 $N(\epsilon )>a$가 존재한다. 제2 적분 평균값 정리에 따라, 임의의 $y>x>N(\epsilon )$에 대하여, 어떤 $c(x,y)\in [x,y]$가 존재하며, 다음이 성립한다.

${\begin{aligned}\left|\int _{x}^{y}f(t)g(t)\,dt\right|&=\left|g(x)\int _{x}^{c(x,y)}f(t)\,dt+g(y)\int _{c(x,y)}^{y}f(t)\,dt\right|\\&\leq 2|g(\infty )|\left(\left|\int _{x}^{c(x,y)}f(t)\,dt\right|+\left|\int _{c(x,y)}^{y}f(t)\,dt\right|\right)\\&\leq 2|g(\infty )|\cdot 2\cdot {\frac {\epsilon }{4|g(\infty )|+1}}\\&<\epsilon \end{aligned}}$

따라서, 이상 적분

$\int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,dx$

은 수렴한다.

균등 수렴

집합 $X$ 및 두 실수 값 함수의 열 $(f_{n},g_{n}\colon X\to \mathbb {R} )_{n=0}^{\infty }$이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

• 함수 항 급수 $\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}$는 균등 수렴한다.
• $(g_{n})_{n=0}^{\infty }$은 균등 유계 함수열이다. 또한, 임의의 $x\in X$에 대하여, $(g_{n}(x))_{n=0}^{\infty }$는 단조수열이다.

그렇다면, 함수 항 급수

$\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}g_{n}$

역시 균등 수렴한다. 이에 대한 증명은 실수 항 급수에 대한 아벨 판정법의 직접적 증명을 조금 고치면 된다. 디리클레 판정법을 통한 증명은 더 이상 유효하지 않다. 구체적으로, $(g_{n})_{n=0}^{\infty }$은 점별 극한 $g\colon X\to \mathbb {R}$을 갖지만, $g$로 균등 수렴할 필요가 없다. 만약 $X$가 한원소 집합이라면, 이는 실수 항 급수에 대한 아벨 판정법이다.

예

아벨 판정법에 따라, 임의의 수렴급수

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

에 대하여, 다음 급수들 역시 수렴한다.

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+1}{n}}a_{n}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{n}]{n}}a_{n}$

$\sum _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}a_{n}$

외부 링크

• “Abel criterion” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Abel’s uniform convergence test” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Proof of Abel’s test for convergence” (영어). 《PlanetMath》. 
• “Abel's test” (영어). 《ProofWiki》.