유계 함수

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붉은색 함수는 유계 함수지만, 푸른색 함수는 유계 함수가 아니다.

실해석학에서, 유계 함수(有界函數, 영어: bounded function)는 그 치역유계 집합함수이다.

정의[편집]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

유계 함수[편집]

치역유계 집합이라면, 유계 함수라고 한다. 즉, 의 임의의 근방 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 수 가 존재하여야 한다.

유계 함수가 아닌 함수를 무계 함수(無界函數, 영어: unbounded function)라고 한다. 유계 연속 함수 벡터 공간로 표기하며, 이 위에는 균등 수렴 위상을 부여한다.

콤팩트 지지 함수[편집]

가 추가로 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 콤팩트 지지 연속 함수(영어: compactly supported continuous map)라고 한다.

  • 콤팩트 집합 가 존재한다. (여기서 영벡터 상수 함수이다.)
  • 지지 집합 콤팩트 집합이다. (여기서 폐포를 뜻한다.)

콤팩트 지지 연속 함수 들의 집합을 로 표기하자.

무한에서 0이 되는 함수[편집]

가 추가로 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 만약 가 다음 조건을 만족시킨다면, 무한에서 0이 되는 연속 함수(영어: continuous map vanishing at infinity)라고 한다.

  • 의 임의의 근방 에 대하여, 이 되는 콤팩트 집합 가 존재한다. (여기서 치역을 의미한다.)

무한에서 0이 되는 연속 함수 들의 집합을 로 표기하자. 만약 노름 공간이라면, 에 다음과 같은 노름을 줄 수 있다.

만약 바나흐 공간이라면, 역시 바나흐 공간이다.

성질[편집]

국소 콤팩트 하우스도르프 공간일 때, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

여기서 는 모든 연속 함수 들의 공간이다. 만약 콤팩트 하우스도르프 공간이라면 하이네-보렐 정리에 의하여 이 네 함수 공간들은 모두 다 일치한다.

또한, 모든 유계 변동 함수는 유계 함수이다.

노름[편집]

노름 공간이라고 하면, 위에 균등 노름

을 정의할 수 있다. 만약 가 추가로 바나흐 공간이라면, 역시 바나흐 공간이다. 또한, 역시 균등 노름에 의하여 바나흐 공간을 이룬다. 노름 공간이지만 일반적으로 바나흐 공간이 아니며, 그 완비화이다.

리스 표현 정리[편집]

리스 표현 정리에 따르면, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 에 대하여, 위상 쌍대 공간바나흐 공간 위의 측정 측도들의 바나흐 공간과 동형이다.

[편집]

다음 함수들은 정의역공역이 모두 (표준적 거리 함수를 갖춘) 실수 집합 이라고 가정한다.

함수 치역 전체이므로 유계 함수가 아니다. 반면, 함수 는 치역이 구간 이므로 유계 함수이다.

유리수 집합의 지시 함수

(디리클레 함수라고 한다)는 연속 함수가 아니지만 치역이 이므로 유계 함수이다.

의 그래프

정규 분포 확률 밀도 함수

는 무한에서 0이 되는 매끄러운 함수이지만, 콤팩트 지지 함수가 아니다.

의 그래프

함수

는 콤팩트 지지 매끄러운 함수이다.

참고 문헌[편집]

  • Jerison, Meyer (1950년 9월). “The space of bounded maps into a Banach space”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 52 (2): 309–327. JSTOR 1969472. doi:10.2307/1969472. 

외부 링크[편집]