치환적분

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미적분학에서 치환적분(置換積分, 영어: integration by substitution)은 변수의 치환을 통해 적분을 구하는 방법이다. 미분연쇄법칙에 대응한다.

내용[편집]

부정적분 꼴[편집]

구간에 정의된 두 실함수 , 에 대하여, 에서 미분 가능할 때, 만약 두 조건

  • 부정적분에서 존재한다.
  • 의 부정적분이 에서 존재하고, 이 모든 에 대해 성립한다.

중 하나가 성립할 때, 남은 한 부정적분도 존재하며 다음이 성립한다.

정적분 꼴[편집]

연속함수 연속 미분 가능한 함수 에 대하여 다음이 성립한다.

설명[편집]

실제 응용에서, 등식 양변 중 어느 것이 더 간단한 적분인지에 따라 좌변에서 우변으로 또는 우변에서 좌변으로 변환한다. 치환적분은 간단히 간의 치환으로 볼 수 있다. 따라서 어떤 의미에서 치환적분은 라이프니츠 표기법의 정당성을 설명한다.

증명[편집]

만약 의 부정적분이 존재하면, 역도함수 하나를 취하여 로 두었을 때 연쇄법칙에 의하여

이므로

가 되어 성립한다. 만약 의 부정적분이 로 존재하고 가 0을 값으로 하지 않으면, 다르부의 정리에 따라 는 항상 양수이거나 항상 음수이다. 따라서 는 단조함수이며 역함수 가 존재한다. 에 미분을 취하면

이다. (여기서 이다.) 고로

가 되어 성립한다. 이로써 부정적분 꼴에 대한 증명을 마쳤다. 정적분 꼴에 대해서는, 가 연속이므로 적분 가능하며 역도함수가 존재한다. 미적분학의 기본정리에 따라 다음이 성립한다.

가 연속이므로 도 연속이다. 따라서 적분 가능하다. 또한 의 역도함수이므로, 마찬가지로 다음이 성립한다.

고로 두 정적분은 같으며 이로써 정적분 꼴의 증명을 마쳤다.

부정적분 예[편집]

첫째, 둘째 예는 우에서 좌로, 셋째 예는 좌에서 우로 치환하였다.

예 1[편집]

부정적분 로 치환하여 계산할 수 있다. 이 때

이므로 다음과 같은 결과를 얻는다.

예 2[편집]

부정적분 에서 인 것에 주의하여 치환 을 이용해 다음과 같이 계산할 수 있다.

예 3[편집]

여기선 치환 이 사용되었다. 이처럼 어떤 적분은 치환적분을 통해 유리함수의 적분으로 전환되어 해결된다.

정적분 예[편집]

첫째 예는 우에서 좌의 방향으로, 둘째 예는 그 반대 방향으로 계산하였다.

예 1[편집]

다음 정적분을 생각하자.

로 두면 이고, 가 0, 1를 취할 때 의 값은 각각 1, 3이므로,

예 2[편집]

삼각치환법을 이용하여 단위원의 넓이의 1/4에 대응하는 아래 적분을 계산할 수 있다.

여기서 이용한 치환은

이다.

이므로

다른 응용[편집]

아래 명제들은 치환적분을 통해 증명 가능하다.

  • 폐구간 에서 연속인 짝함수 에 대해 다음이 성립한다.
  • 폐구간 에서 연속인 홀함수 에 대해 다음이 성립한다.

특별한 치환적분[편집]

삼각치환법, 쌍곡치환법, 바이어슈트라스 치환, 오일러 치환은 치환적분의 특별한 방식들이다.

삼각치환법, 쌍곡치환법
, , 또는 꼴이 들어간 적분을 매개변수에 관한 삼각함수 또는 쌍곡함수로의 치환을 통해 계산할 수 있다. 위의 예시 참조.
바이어슈트라스 치환
탄젠트 반각 공식에 의한 적분법. 삼각유리함수를 치환 을 사용하여 유리함수로 바꿔 계산할 수 있다.
오일러 치환
에 관한 유리함수의 적분에 사용되는 기법이다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

참고 문헌[편집]