치환적분

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미적분학에서 치환적분(置換積分, 영어: integration by substitution)은 변수의 치환을 통해 적분을 구하는 방법이다. 미분연쇄법칙에 대응한다.

내용[편집]

부정적분 꼴[편집]

구간에 정의된 두 실함수 f:I\to\R, g:I'\to I에 대하여, gI'에서 미분 가능할 때, 만약 두 조건

  • f부정적분I에서 존재한다.
  • f(g(t))g'(t)의 부정적분이 I'에서 존재하고, g'(t)\ne0이 모든 t에 대해 성립한다.

중 하나가 성립할 때, 남은 한 부정적분도 존재하며 다음이 성립한다.

\int f(x) \,dx = \int f(g(t))g'(t) \,dt

정적분 꼴[편집]

연속함수 f:I\to\R연속 미분 가능한 함수 g:[a,b]\to I에 대하여 다음이 성립한다.

\int_{g(a)}^{g(b)} f(x) \,dx = \int_a^b f(g(t))g'(t) \,dt

설명[편집]

실제 응용에서, 등식 양변 중 어느 것이 더 간단한 적분인지에 따라 좌변에서 우변으로 또는 우변에서 좌변으로 변환한다. 치환적분은 간단히 dxg'(t) \,dt 간의 치환으로 볼 수 있다. 따라서 어떤 의미에서 치환적분은 라이프니츠 표기법의 정당성을 설명한다.

증명[편집]

만약 f의 부정적분이 존재하면, 역도함수 하나를 취하여 F로 두었을 때 연쇄법칙에 의하여

[F(g(t))]' = f(g(t))g'(t)

이므로

\int f(g(t))g'(t) \,dt = F(g(t)) + C

가 되어 성립한다. 만약 f(g(t))g'(t)의 부정적분이 H(t) + C로 존재하고 g'(t)가 0을 값으로 하지 않으면, 다르부의 정리에 따라 g'(t)는 항상 양수이거나 항상 음수이다. 따라서 g(t)는 단조함수이며 역함수 g^{-1}가 존재한다. H'(g^{-1}(x))에 미분을 취하면

[H(g^{-1}(x))]' = H'(g^{-1}(x))[g^{-1}(x)]' = f(x)g'(t)\frac{1}{g'(t)}=f(x)

이다. (여기서 t = g^{-1}(x)이다.) 고로

\int f(x) \,dx = H(g^{-1}(x)) + C

가 되어 성립한다. 이로써 부정적분 꼴에 대한 증명을 마쳤다. 정적분 꼴에 대해서는, f가 연속이므로 적분 가능하며 역도함수F가 존재한다. 미적분학의 기본정리에 따라 다음이 성립한다.

\int_{g(a)}^{g(b)} f(x) \,dx = \left[ F(x) \right] _{g(a)}^{g(b)}

g'(t)가 연속이므로 f(g(t))g'(t)도 연속이다. 따라서 적분 가능하다. 또한 F(g(t))f(g(t))g'(t)의 역도함수이므로, 마찬가지로 다음이 성립한다.

\int_a^b f(g(t))g'(t) \,dt = \left[ F(g(t)) \right]_a^b

고로 두 정적분은 같으며 이로써 정적분 꼴의 증명을 마쳤다.

부정적분 예[편집]

첫째, 둘째 예는 우에서 좌로, 셋째 예는 좌에서 우로 치환하였다.

예 1[편집]

부정적분 \int \cos (3x + 1) \,dx3x + 1t로 치환하여 계산할 수 있다. 이 때

dx = \frac{1}{3} \,dt

이므로 다음과 같은 결과를 얻는다.

\int \cos (3x + 1) \,dx = \frac{1}{3} \int \cos t \,dt = \frac{1}{3} \sin t + C = \frac{1}{3} \sin (3x + 1) + C

예 2[편집]

부정적분 \int x e^{x^2} \,dx에서 xdx = \frac{1}{2}d(x^2)인 것에 주의하여 치환 x^2 = t을 이용해 다음과 같이 계산할 수 있다.

\int x e^{x^2} \,dx = \frac{1}{2} \int e^t \,dt = \frac{1}{2} e^t + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C

예 3[편집]

\int \frac{dx}{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}} = \int \frac{d(t^6)}{t^3 + t^2} = 6 \int \frac{t^3}{t + 1} \, dt

여기선 치환 x=t^6이 사용되었다. 이처럼 어떤 적분은 치환적분을 통해 유리함수의 적분으로 전환되어 해결된다.

정적분 예[편집]

첫째 예는 우에서 좌의 방향으로, 둘째 예는 그 반대 방향으로 계산하였다.

예 1[편집]

다음 정적분을 생각하자.

\int_0^1 \frac{dx}{1 + 2x}

1+2xt로 두면 dx = \frac{1}{2} dt이고, x가 0, 1를 취할 때 t의 값은 각각 1, 3이므로,

\int_1^2 \frac{dx}{1 + 2x} = \frac{1}{2} \int_1^3 \frac{dt}{t} = \left[ \ln t \right]_1^3 = \ln 3

예 2[편집]

삼각치환법을 이용하여 단위원의 넓이의 1/4에 대응하는 아래 적분을 계산할 수 있다.

\int_0^1 \sqrt{1 - x^2} \,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t \,dt

여기서 이용한 치환은

x = \sin t
dx = \cos t \,dt

이다.

\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}

이므로

\int_0^1 \sqrt{1 - x^2} \,dx = \frac{1}{4} \int_0^{\pi} 1 + \cos u \,du = \frac{1}{4} \left[ u + \sin u \right]_0^{\pi} = \frac{\pi}{4}

다른 응용[편집]

아래 명제들은 치환적분을 통해 증명 가능하다.

  • 폐구간 [-a,a]에서 연속인 짝함수 f에 대해 다음이 성립한다.
    \int_{-a}^a f(x) \,dx = 2 \int_0^a f(x) \,dx
  • 폐구간 [-a,a]에서 연속인 홀함수 f에 대해 다음이 성립한다.
    \int_{-a}^a f(x) \,dx = 0

특별한 치환적분[편집]

삼각치환법, 쌍곡치환법, 바이어슈트라스 치환, 오일러 치환은 치환적분의 특별한 방식들이다.

삼각치환법, 쌍곡치환법
a^2 - x^2, a^2 + x^2, 또는 a^2 - x^2 꼴이 들어간 적분을 매개변수에 관한 삼각함수 또는 쌍곡함수로의 치환을 통해 계산할 수 있다. 위의 예시 참조.
바이어슈트라스 치환
탄젠트 반각 공식에 의한 적분법. 삼각유리함수를 치환 t = \tan \frac{x}{2}을 사용하여 유리함수로 바꿔 계산할 수 있다.
오일러 치환
x\sqrt{ax^2 + bx + c}에 관한 유리함수의 적분에 사용되는 기법이다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

참고 문헌[편집]