치환 적분

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미적분학에서, 치환 적분(置換積分, 영어: integration by substitution)은 기존의 변수를 새 변수로 치환하여 적분하는 기법이다.

정의[편집]

부정적분의 경우[편집]

구간 와 함수 이 주어졌다고 하자.

  • 만약 부정적분 가 존재하고, 가 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.[1]:246, 정리6.2.1
  • 만약 의 원함수 가 존재하고, 가 미분 가능 함수이며, 모든 에 대하여 이라면, 다음이 성립한다.[1]:252, 정리6.2.2

정적분의 경우[편집]

만약 연속 미분 가능 함수이며, 연속 함수라면, 다음이 성립한다.[2]:408

증명[편집]

부정적분에 대한 첫 번째 명제의 조건에 따라 이며, 가 미분 가능 함수이므로, 연쇄 법칙을 적용하면 을 얻는다. 즉, 의 한 원함수는 이므로 첫 번째 명제가 성립한다.

부정적분에 대한 두 번째 명제의 조건에 따라 모든 에 대하여 이므로, 다르부 정리에 따라 모든 에 대하여 이거나 모든 에 대하여 이다. 따라서 는 존재한다. 이며, 이므로, 다음이 성립한다.

즉, 의 한 원함수는 이므로 두 번째 명제가 성립한다.

정적분에 대한 명제의 조건에 따라 는 연속 함수이므로, 원함수가 존재한다. 연쇄 법칙에 따라, 의 한 원함수를 라고 하면, 의 한 원함수는 이다. 미적분학의 기본 정리에 따라 다음이 성립하므로, 명제가 성립한다.

예 (부정적분)[편집]

첫째 예 (부정적분)[편집]

부정적분

에서 이라고 하자. 그러면 이므로 이다. 따라서 다음이 성립한다.[2]:409, Example 2

둘째 예 (부정적분)[편집]

부정적분

에서 이라고 하자. 그러면 이므로 이다. 따라서 다음이 성립한다.[1]:248, 예6.2.6

치환 적분 기법에 익숙할 경우 다음과 같이 두 변수 사이의 치환을 생략해도 좋다.[1]:248, 예6.2.6

셋째 예 (부정적분)[편집]

부정적분

에서 라고 하자. 그러면 이므로 이다. 따라서 다음이 성립한다.[2]:410, Example 6

넷째 예 (부정적분)[편집]

부정적분

에서 이므로 다음이 성립한다.[3]:304, Example 7.9

다섯째 예 (부정적분)[편집]

부정적분

에서 이라고 하자. 그러면 이므로 다음이 성립한다.[1]:254, 예6.2.17

예 (정적분)[편집]

첫째 예 (정적분)[편집]

정적분

에서 라고 하자. 그러면 이다. 또한 일 때 이며 일 때 이다. 따라서 다음이 성립한다.[3]:303, Example 7.8

둘째 예 (정적분)[편집]

정적분

에서 ()라고 하자. 그러면 이다. 또한 다음이 성립한다.

마지막에 양수를 취한 것은 모든 에 대하여 이기 때문이다. 또한 일 때 이며, 일 때 이므로, 다음이 성립한다.[4]:42, 예7.4.5

이는 사분원의 넓이 공식과 일치한다.

응용[편집]

홀함수와 짝함수의 적분[편집]

치환 적분을 통해 대칭적인 함수의 대칭적인 구간 위의 적분에 대한 공식을 증명할 수 있다. 연속 함수라고 하자.

  • 만약 홀함수라면 (모든 에 대하여 라면), 다음이 성립한다.
  • 만약 짝함수라면 (모든 에 대하여 라면), 다음이 성립한다.

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 만약 가 홀함수라면, 치환 적분 을 쓴 뒤 를 대입하면 다음을 얻으므로 원하는 명제가 성립한다.

만약 가 짝함수라면, 치환 적분 을 쓴 뒤 를 대입하면 다음을 얻으므로 원하는 명제가 성립한다.[4]:41, 예7.4.4

주기 함수의 적분[편집]

치환 적분을 통해 주기 함수의 한 주기 동안의 적분이 어디에서나 같음을 증명할 수 있다. 를 주기로 가지는 연속 함수라고 하자. 그렇다면 임의의 에 대하여 다음이 성립한다.

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 치환 적분 를 쓴 뒤 를 대입하면 다음을 얻는다.

따라서 다음이 성립하므로, 원하는 명제가 성립한다.[4]:42-43, 예7.4.6

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. 伍胜健 (2009년 8월). 《数学分析》 (중국어) 1 1판. 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8. 
  2. Stewart, James (2011). 《Single Variable Calculus: Early Transcendentals》 (영어) 7판. Belmont, CA 94002-3098: Cengage Learning. ISBN 978-0-538-49867-8. LCCN 2010936598. 
  3. Lax, Peter D.; Terrell, Maria Shea (2014). 《Calculus With Applications》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어) 2판. New York: Springer Science+Business Media. ISBN 978-1-4614-7945-1. ISSN 0172-6056. LCCN 2013946572. doi:10.1007/978-1-4614-7946-8. 
  4. 伍胜健 (2010년 2월). 《数学分析》 (중국어) 2 1판. 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15876-0. 

외부 링크[편집]