미분법

미분법(영어: differentiation rules)은 미분을 어떻게 할 것인지에 관한 법칙이다.

내용

대수함수의 미분법

기본 미분법

이 문단에선 라그랑주의 표기법이 사용되었다.

$f$와 $g$를 미분 가능한 함수라 하면

• (선형성)

$\left({cf}\right)'=cf'$ ($c$는 상수)

$\left({f+g}\right)'=f'+g'$

$\left({f-g}\right)'=f'-g'$

• (곱의 법칙)

$\left({fg}\right)'=f'g+fg'$

• (연쇄 법칙)

$(f\circ g)'=(f'\circ g)g'$

확장된 미분법

조금 더 넓게 다음까지도 기본 공식으로 취급하기도 한다.

• (역수 법칙)

$\left({\frac {1}{f}}\right)'=-{\frac {f'}{f^{2}}}$

• (몫의 법칙)

$\left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}}$  (단, $g\neq 0$)

• (역함수 법칙)

$f(g(y))=y$ 라 하면

$g'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}$

단순한 함수의 미분법

${d \over dx}c=0$

${d \over dx}x=1$

${d \over dx}|x|={x \over |x|}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0$

${d \over dx}x^{c}=cx^{c-1}$

${d \over dx}{\sqrt {x}}={1 \over 2{\sqrt {x}}}$

${d \over dx}\left({1 \over x}\right)=-{1 \over x^{2}}$

초월함수의 미분법

지수함수와 로그함수의 미분법

${d \over dx}a^{f(x)}={a^{f(x)}f'(x)\ln a},\qquad a>0$

${d \over dx}c^{x}={c^{x}\ln c},\qquad c>0$

${d \over dx}e^{x}=e^{x}$

${d \over dx}\log _{c}x={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1$ 자연

${d \over dx}\ln x={1 \over x}$

삼각함수의 미분법

${d \over dx}\sin x=\cos x$

${d \over dx}\cos x=-\sin x$

${d \over dx}\tan x={1 \over \cos ^{2}x}=\sec ^{2}x$

${d \over dx}\csc x=-{1 \over \tan x\sin x}=-\cot x\csc x$

${d \over dx}\sec x=\tan x\sec x$

${d \over dx}\cot x=-{1 \over \sin ^{2}x}=-\csc ^{2}x$

${d \over dx}\sin ^{-1}x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}\cos ^{-1}x={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}\tan ^{-1}x={1 \over 1+x^{2}}$

${d \over dx}\csc ^{-1}x={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

${d \over dx}\sec ^{-1}x={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

${d \over dx}\cot ^{-1}x={-1 \over 1+x^{2}}$

쌍곡선 함수의 미분법

${d \over dx}\sinh x=\cosh x$

${d \over dx}\cosh x=\sinh x$

${d \over dx}\tanh x={\mbox{sech}}^{2}\,x$

${d \over dx}\,{\mbox{csch}}\,x=-\,{\mbox{coth}}\,x\,{\mbox{csch}}\,x$

${d \over dx}\,{\mbox{sech}}\,x=-\tanh x\,{\mbox{sech}}\,x$

${d \over dx}\,{\mbox{coth}}\,x=-\,{\mbox{csch}}^{2}\,x$

${d \over dx}\sinh ^{-1}x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}$

${d \over dx}\cosh ^{-1}x={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}$

${d \over dx}\tanh ^{-1}x={1 \over 1-x^{2}}$

${d \over dx}{\mbox{csch}}^{-1}\,x={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}+1}}}$

${d \over dx}{\mbox{sech}}^{-1}\,x={-1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}{\mbox{coth}}^{-1}\,x={1 \over 1-x^{2}}$