삼각함수

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수학에서, 삼각함수(三角函數, 영어: trigonometric function)는 직각삼각형의 을 직각삼각형의 변들의 길이의 비로 나타내는 함수이다. 이는 복소수의 지수 함수의 실수 · 허수 부분이며, 따라서 복소수를 다룰 때 핵심적인 역할을 한다. 가장 근본적인 주기함수이며, 각종 주기적 현상을 다룰 때 푸리에 급수의 형태로 등장한다.

삼각함수에는 3개의 기본 함수가 있으며, 이들은 사인(문화어: 씨누스, 영어: sine, 기호 sin) · 코사인(문화어: 꼬씨누스, 영어: cosine, 기호 cos) · 탄젠트(문화어: 땅겐스, 영어: tangent, 기호 tan)라고 한다. 이들의 역수는 각각 코시컨트(문화어: 꼬쎄깐스, 영어: cosecant, 기호 csc) · 시컨트(문화어: 쎄깐스, 영어: secant, 기호 sec) · 코탄젠트(문화어: 꼬땅겐스, 영어: cotangent, 기호 cot)라고 한다.

정의[편집]

기하학적 정의[편집]

직각삼각형

각 C가 직각인 삼각형 ABC에서, 각 A, B, C의 대변(마주보는 변)의 길이를 a, b, h라고 할 때, 사인, 코사인, 탄젠트의 정의는 다음과 같다.

사인: \sin A = \frac{a}{h}
코사인: \cos A = \frac{b}{h}
탄젠트: \tan A = \frac{a}{b}

또한, 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다.

코시컨트: \csc A = \frac{h}{a} = \frac{1}{\sin A}
시컨트: \sec A = \frac{h}{b} = \frac{1}{\cos A}
코탄젠트: \cot A = \frac{b}{a} = \frac{1}{\tan A}

단위원 정의[편집]

삼각 함수

좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원을 단위원이라고 한다. 이 단위원 위의 점 (x, y)에 대해, x축과 점과 원점을 잇는 직선간의 각을 \theta 라디안이라고 하면, 이때 사인, 코사인은 다음과 같이 정의된다.

\sin \theta = y
\cos \theta = x

또한, 나머지 함수들을 다음과 같이 정의한다.

\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}
\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}
\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

복소 삼각 함수[편집]

오일러의 공식 \,  e^{ix}=\cos x+i\sin x

\, x=b i 를 대입하면,

\, e^{-b}=\cos bi+i\sin bi

\, x=-bi 를 대입하면,

\, e^{b}=\cos (-bi)+i\sin (-bi)=\cos bi-i\sin bi

연립하여 풀면,

 \cos bi =\frac{e^{b}+e^{-b}}{2}=\cosh b
 \sin bi =\frac{e^{b}-e^{-b}}{2}i=i\sinh b

성질[편집]

주기성과 특이점[편집]

사인 · 코사인 · 코시컨트 · 시컨트는 주기가 2\pi주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 z\in\mathbb C에 대하여,

\sin z=\sin(z+2\pi)
\cos z=\cos(z+2\pi)
\csc z=\csc(z+2\pi)
\sec z=\sec(z+2\pi)

탄젠트 · 코탄젠트는 주기가 \pi주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 z\in\mathbb C에 대하여,

\tan z=\tan(z+\pi)
\cot z=\cot(z+\pi)

사인과 코사인은 실수선 위에서 해석함수이며, 복소 평면 위에서 정칙함수이다. 이들은 복소 무한대 \hat{\infty}에서 본질적 특이점을 갖는다.

탄젠트는 실수선의 \pi/2+n\pi (n\in\mathbb Z)에서 정의되지 않는다.

Sine cosine plot.svg   Tangent.svg   Csc drawing process.gif
사인과 코사인의 그래프   탄젠트 그래프   코시컨트 그래프

특별한 값[편집]

단위원 위의 각 점의 좌표

특별한 각에서의 삼각 함수의 값은 다음과 같다.

사인 코사인
0 0 1
\pi/6 1/2 \sqrt3/2
\pi/4 \sqrt2/2 \sqrt2/2
\pi/3 \sqrt3/2 1/2
\pi/2 1 0

부호[편집]

각 사분면에 따른 삼각함수의 부호는 다음과 같다.

사분면  sin과 csc   cos과 sec   tan와 cot 
I + + +
II +
III +
IV +

항등식[편집]

삼각함수 사이에는 많은 항등식이 존재한다. 그중 가장 자주 쓰이는 것은 피타고라스 항등식으로, 어떤 각에 대해서도 사인의 제곱과 코사인의 제곱의 합은 1이다. 이는 반지름의 길이가 r이고 밑변이 b, 각 x의 대변 a에 대하여 \frac{a^2+b^2}{r^2}=\frac{r^2}{r^2}=1를 만족한다는 피타고라스의 정리로 설명할 수 있다. 이를 삼각함수로 나타내면 다음과 같다.

\, \sin^2 x  + \cos^2 x  = 1

다른 삼각함수의 관계는 삼각함수의 덧셈정리이다. 두 각의 합과 차의 사인과 코사인은 x, y에 대한 사인과 코사인으로 구할 수 있다. 이는 제이 코사인 법칙두 점 사이의 거리 공식을 연립해 유도할 수 있고, 제일 코사인 법칙과 사인 법칙을 연립해 유도할 수 있고, 오일러의 공식을 이용해 유도할 수도 있다.

\sin \left(x \pm y\right)=\sin x \cos y \pm \cos x \sin y, \,
\cos \left(x \pm y\right)=\cos x \cos y \mp \sin x \sin y (복부호 동순)

두 각의 크기가 같을 경우에는 덧셈정리를 간단하게 배각공식을 이용할 수 있다.

모든 삼각 함수는 다른 삼각 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

  sin cos tan cot sec csc
sin  \sin x  \sqrt{1-\cos^2x}  (\tan x)/\sqrt{1 + \tan^2x}  1/\sqrt{\cot^2x + 1}  \sqrt{\sec^2(x)-1}/(\sec x)  1/(\csc x)
cos  \sqrt{1-\sin^2x}  \cos x 1/\sqrt{1 + \tan^2(x)}  (\cot x)/\sqrt{\cot^2x+ 1}  1/(\sec x)  \sqrt{\csc^2x-1}/(\csc x)
tan  (\sin x)/\sqrt{1-\sin^2 x}  \sqrt{1-\cos^2x}/(\cos x)  \tan x  1/(\cot x)  \sqrt{\sec^2x-1}  1/\sqrt{\csc^2x-1}
cot  \sqrt{1-\sin^2x}/(\sin x)  (\cos x)/\sqrt{1-\cos^2x}  1/(\tan x)  \cot(x)  1/\sqrt{\sec^2x-1} \sqrt{\csc^2x-1}
sec  1/\sqrt{1-\sin^2x}  1/(\cos x)  \sqrt{1 + \tan^2 x}  \sqrt{\cot^2x + 1}/(\cot x)  \sec x  (\csc x)/\sqrt{\csc^2(x)-1}
csc  1/(\sin x)  1/\sqrt{1 - \cos^2x}  \sqrt{1 + \tan^2 x}/(\tan x)  \sqrt{\cot^2x + 1}  (\sec x)/\sqrt{\sec^2x - 1}  \csc x

미분과 적분[편집]

삼각함수의 미분적분에 대해서는 미분표, 적분표를 참고하십시오.

다음은 6개의 기본 삼각함수에 대한 도함수와 부정적분이다.

함수 f(x) 도함수 f'(x) 부정적분 \textstyle\int f(x)\,dx
\sin x \cos x -\cos x + C
\cos x -\sin x \sin x + C
\tan x \sec^2 x -\ln \left |\cos x\right | + C
\cot x -\csc^{2} x \ln \left |\sin x\right | + C
\sec x \sec{x}\tan{x} \ln \left |\sec x + \tan x\right | + C
\csc x -\csc{x}\cot{x} \ln \left |\csc x + \cot x\right | + C

삼각형의 성질[편집]

사인 법칙[편집]

사인법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B, C의 대변 a, b, c에 대해 다음과 같은 관계를 만족함을 나타낸다.

 \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}

마찬가지로,

 \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}=2R

도 성립한다. 여기서 R은 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 나타낸다.

코사인 법칙[편집]

코사인법칙에는 총 두 가지의 법칙이 있다.

코사인 제 1 법칙에 따르면,

 \, c=b\cos A + a\cos B

앙변의 길이와 알고자 하는 변 사이의 두 각의 크기를 알 경우, 다른 한 변의 길이를 알아낼 때 사용할 수 있다.

코사인 제 2 법칙피타고라스의 정리를 확장한 것이다.

 \, c^2=a^2+b^2-2ab\cos C

가 성립하고, 위의 식을 변형하면

 \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

와 같이 나타낼 수 있다.

코사인법칙은 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 나머지 한 변의 길이를 구할 때 유용하게 쓸 수 있다. 또한 모든 변의 길이를 알고 있을 때 각의 코사인값을 구할 때에도 사용할 수 있다.

탄젠트 법칙[편집]

탄젠트법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B의 대변 a, b에 다음과 같은 식을 만족시킨다.

 \frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan{{1 \over 2}(A+B)}}{\tan{{1 \over 2}(A-B)}}

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]