단위원

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단위원(單位圓)은 반경이 1인 원이다. 특별히 해석기하학에서는 원점 을 중심으로 하는 반경이 1인 원을 말한다. 즉, 원점으로부터 거리가 1 인 점의 자취이다.

많은 경우 단위원은 으로 표시한다. 이것은 일반적인 차원 구면(sphere) 개념 중 의 경우를 뜻한다.

단위원 위의 임의의 한 점의 삼각매개화[편집]

단위원 위의 임의의 점 극좌표를 이용하여 나타내는 경우, (: 점 와 원점을 이은 반직선 축이 이루는 각, )으로 나타낼 수 있다. 또한 이 점을 직교좌표를 이용하여 표현하는 경우, 이 점의 좌표는 로 나타낼 수 있다.



에 의해 만들어지는 직각삼각형에 대해, 삼각함수 중 사인 함수와 코사인 함수의 정의를 적용하면 으로 나타낼 수 있다.

단위원의 경우, 원점으로부터의 거리 이므로 로 정리할 수 있다.

이와 같은 방식으로 삼각함수의 정의를 이용하여 단위원 위의 모든 점을 '원점으로부터의 거리()'와 '축의 양의 방향과 이루는 각도()'로 나타내는 것을 '단위원의 삼각매개화'라 한다.

단위원 위의 임의의 한 점의 유리매개화[편집]

단위원 위의 임의의 한 점 를 유리매개화 하기 위해, 기울기가 (: 임의의 실수)이고 단위원 위의 한 점인 을 지나는 직선 을 생각한다. 이 경우, 직선 은 단위원과 2개의 교점을 갖는다. 하나는 , 다른 하나는 유리매개화를 하려고 하는 임의의 점 가 된다. 따라서 단위원의 원의 방정식과 직선 의 방정식을 연립하여 점 의 좌표를 찾아낸다면, 임의의 실수 에 대해 원 위의 모든 점(단, 은 제외)을 유리매개화 할 수 있다.

단위원의 원의 방정식:
직선ℓ의 직선의 방정식:

직선의 방정식을 원의 방정식에 대입하여 변수 를 소거하면 에 대한 이차방정식을 얻을 수 있다.

얻어낸 의 이차방정식을 근의 공식을 이용하여 근을 찾아내면 그것이 점 좌표가 된다.

또는

따라서, 점 좌표는 이다. 좌표를 직선 의 방정식에 대입하여 좌표도 찾아, 점 의 좌표를 완성시키면 다음과 같다.

단위원과 직선의 교점: .

이와 같은 방식으로 원과 두 개의 교점을 갖는 직선을 이용하여 단위원 위의 모든 점의 좌표(단, 제외, 로 발산하는 경우 점 로 수렴한다)를 임의의 실수 에 대한 식으로 나타내는 것을 '단위원의 유리매개화'라고 한다.

참고) 단위원 위의 임의의 한 점의 유리매개화를 통해 단위원과 임의의 곡선 의 교점의 갯수를 구할 수 있다.

예를들어, 라 하자. 단, 는 단위원 는 임의의 곡선이며 의 차수는 이라 하자.

결론부터 말하자면, 의 교점의 개수는 많아야 개 이하이다.

우선, 두 곡선 의 교점 는 단위원의 유리매개화를 통해 을 제외한 모든 점에서 아래와 같이 유리매개화할 수 있다.

이 때, 로 놓을 수 있고 이다.

여기서 을 만족하는 의 개수가 교점의 개수이다.

따라서 우리가 알고 싶은 것은 의 차수(degree)이므로, 에 대해 정리한 각 항의 일반적인 형태는 다음과 같다.

ijij

(단, ij는 각 항의 계수이며, i+j<n 이다.)

그리고 위 식 우변에 i+j을 곱하면,

ij

그러므로 차수()를 생각하면 다음과 같다.

따라서 의 차수가 보다 작으므로 단위원과 임의의 곡선 의 교점의 개수는 많아야 개 이하이다.

복소평면의 단위원[편집]

복소평면상의 단위원은 절댓값이 1 인 복소수의 자취

{zC | |z| = 1} = {exp(iθ) | 0 ≤ θ < 2π}

가 된다 (exp 는 자연대수의 밑인 e 을 밑으로 하는 복소변수 지수함수). 이 집합은 복소수의 통상의 곱에 관해서 닫혀 있고 (群, group)을 이루어 원주군 (circle group)으로 불리기도 한다. 이것은 또 1차원의 유니타리 군으로 불리는 리 군이며 U(1)라고 표시한다.